Exercício 9 Construa exemplos de conjuntos A, B e C que não satisfazem as seguintes afirmações:
S e A cap B=emptyset e B cap C=emptyset, então A cap C=emptyset;

Passo 1

Estamos procurando um contra-exemplo para a afirmação “se ,Acap B=emptyset e ,Bcap C=emptyset, então ,Acap C=emptyset”. Ou seja, queremos conjuntos A, B e C tais que A e B não tenham elementos em comum, B e C também não, mas A e C tenham interseção não-vazia.

Passo 2

Escolhemos como universo U um conjunto pequeno, por exemplo U=1,2. Definimos:
A = 1, B = 2, C = 1

Passo 3

Verificamos que
Acap B = 1cap2 = emptyset
Logo, A e B são disjuntos.

Passo 4

Também
Bcap C = 2cap1 = emptyset
Portanto, B e C são disjuntos.

Passo 5

Contudo,
Acap C = 1cap1 = 1neqemptyset
Ou seja, A e C têm interseção não-vazia, contrariando a afirmação original.

Resposta

Um contra-exemplo é
A=1, B=2, C=1,
pois satisfaz ,Acap B=emptyset e ,Bcap C=emptyset mas ,Acap C=1neqemptyset.

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