Sejam R=v1, v2, ldots, vn uma base para um espaço vetorial V e S=u1, u2, ldots, un um conjunto LI em V. Prove que o conjunto
T=[u1]R,[u2]R, ldots,[un]R
é LI em R^n.

Passo 1

O enunciado diz que R=v1,dots,vn é uma base de V e S=u1,dots,un é um conjunto linearmente independente em V. Queremos mostrar que as coordenadas desses vetores na base R,
T=,[u1]R,dots,[un]R,,
são linearmente independentes em R^n. O conteúdo principal usado será a aplicação linear e injetiva que leva um vetor às suas coordenadas.

Passo 2

Definimos a aplicação
varphi:VlongrightarrowR^n, varphi(x) = [x]R
Sabemos que varphi é linear, pois para quaisquer x,yin V e escalares a,binR vale
varphi(a x + b y) = [,a x + b y,]R = a,[x]R + b,[y]R = a,varphi(x) + b,varphi(y)

Passo 3

Como R é base de V, a aplicação varphi é bijetora, e em particular injetora. Logo,
varphi(x)=varphi(y) Longrightarrow x=y

Passo 4

Para provar que T é linearmente independente em R^n, suponha que existam escalares alpha1,dots,alphan tais que
alpha1,[u1]R +alpha2,[u2]R +cdots +alphan,[un]R =0 em R^n
Pela linearidade de varphi, isso equivale a
varphil(alpha1u1+cdots+alphanunr) =0 =varphi(0)

Passo 5

Como varphi é injetora, do fato varphi(w)=varphi(0) segue w=0. Aqui w=alpha1u1+cdots+alphanun, então
alpha1u1+cdots+alphanun =0
Mas S=u1,dots,un é linearmente independente, logo necessariamente
alpha1=alpha2=cdots=alphan=0

Resposta

O conjunto T=,[u1]R,dots,[un]R, é linearmente independente em R^n.

Exercícios relacionados