Sejam
uma base para um espaço vetorial
e
um conjunto LI em
. Prove que o conjunto
é LI em
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma base de
e
é um conjunto linearmente independente em
. Queremos mostrar que as coordenadas desses vetores na base
,
são linearmente independentes em
. O conteúdo principal usado será a aplicação linear e injetiva que leva um vetor às suas coordenadas.
Passo 2
Definimos a aplicação
Sabemos que
é linear, pois para quaisquer
e escalares
vale
Passo 3
Como
é base de
, a aplicação
é bijetora, e em particular injetora. Logo,
Passo 4
Para provar que
é linearmente independente em
, suponha que existam escalares
tais que
Pela linearidade de
, isso equivale a
Passo 5
Como
é injetora, do fato
segue
. Aqui
, então
Mas
é linearmente independente, logo necessariamente
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.