Exercício 9 Construa exemplos de conjuntos
e
que não satisfazem as seguintes afirmações:
e
, então
;
Passo 1
O enunciado pede um contra-exemplo para a afirmação “se
e
, então
”. O conteúdo envolve definição de subconjunto e interseção de conjuntos. Para construir um contra-exemplo, precisamos satisfazer as hipóteses
e
e ao mesmo tempo fazer a conclusão
falhar, ou seja, termos
.
Passo 2
Para que a implicação “
” falhe, precisamos de
verdadeiro e
falso. Aqui
Logo, vamos escolher
tais que
e
sejam verdadeiros, mas
.
Passo 3
Observação chave: se escolhermos
então para qualquer conjunto
teremos
Mas também
é subconjunto de qualquer conjunto, isto é,
.
Passo 4
Basta agora escolher um
não vazio e um
contendo
. Por exemplo,
Verificações:
-
é verdadeiro. -
é verdadeiro. -
, logo a conclusão é falsa.
Resposta
Um exemplo é
pois satisfaz
,
e ao mesmo tempo
, contrariando a afirmação dada.