Exercício 9 Construa exemplos de conjuntos A, B e C que não satisfazem as seguintes afirmações:
S e A subset B e B subset C, então A cap B neq emptyset;

Passo 1

O enunciado pede um contra-exemplo para a afirmação “se A subset B e B subset C, então A cap B neq emptyset”. O conteúdo envolve definição de subconjunto e interseção de conjuntos. Para construir um contra-exemplo, precisamos satisfazer as hipóteses A subset B e B subset C e ao mesmo tempo fazer a conclusão A cap B neq emptyset falhar, ou seja, termos A cap B = emptyset.

Passo 2

Para que a implicação “ Pimplies Q” falhe, precisamos de P verdadeiro e Q falso. Aqui
P:;A subset B e B subset C,
Q:;A cap B neq emptyset
Logo, vamos escolher A,B,C tais que A subset B e B subset C sejam verdadeiros, mas A cap B = emptyset.

Passo 3

Observação chave: se escolhermos
A = emptyset,
então para qualquer conjunto B teremos
A cap B = emptyset
Mas também emptyset é subconjunto de qualquer conjunto, isto é, emptyset subset B.

Passo 4

Basta agora escolher um B não vazio e um C contendo B. Por exemplo,
A = emptyset, B = 1, C = 1,2
Verificações:
  1. emptyset subset 1 é verdadeiro.
  2. 1subset1,2 é verdadeiro.
  3. emptyset cap 1 = emptyset, logo a conclusão Acap Bneqemptyset é falsa.

Resposta

Um exemplo é
A = emptyset, B = 1, C = 1,2,
pois satisfaz A subset B, B subset C e ao mesmo tempo A cap B = emptyset, contrariando a afirmação dada.

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