Exercício 0.1 Construa o gráfico das funções
Passo 1
O enunciado pede: construir o gráfico da função
.
Informações dadas e objetivo (sem resolver ainda):
Informações dadas e objetivo (sem resolver ainda):
- A função é
. - O domínio natural é todo o eixo real:
. - O objetivo é obter um esboço preciso do gráfico, identificando período, amplitude, deslocamentos, máximos, mínimos, pontos notáveis e mostrar como traçar uma repetição periódica.
Passo 2
Transformação trigonométrica útil (identidade do ângulo duplo). Vou deduzir uma forma alternativa de
que ajuda a entender a forma do gráfico.
Substituindo em
obtemos
Explicação didática: a identidade
é uma fórmula padrão que expressa o cosseno do ângulo duplo em termos de
. Aqui transformamos a função para
, o que já indica que
é sempre não negativa e fornece a amplitude máxima de forma direta.
Passo 3
Amplitude, deslocamento vertical e faixa de valores (range).
- Para uma função da forma
, a amplitude é e a reta média é . No caso temos e . - Assim a amplitude é
e a reta média (midline) é . - Usando
, vemos que então .
Conclusão: o gráfico oscila entree em torno da linha .
Passo 4
Período da função.
- Para
o período é . - Aqui temos
com , logo o período é
Explicação didática: isso significa que o padrão do gráfico se repete a cada distância
no eixo
. O cosseno padrão tem período
; ao colocar
comprimimos a curva horizontalmente por fator
, reduzindo o período para
.
Passo 5
Simetria da função.
- Verificando paridade:
Portanto
é uma função par (simétrica em relação ao eixo
). Na prática, basta desenhar para
e espelhar para
.
Passo 6
Pontos notáveis: máximos, mínimos e cruzamentos da reta média.
- Máximos: quando
então . Resolver :
Logo máximos em
com
.
- Mínimos: quando
então . Resolver :
Logo mínimos em
com
.
- Cruzamentos com a reta média
: quando , isto é
Nesses pontos
.
Passo 7
Tabela de pontos úteis no intervalo
(um período completo), que facilita o esboço; esses valores podem ser repetidos periodicamente e espelhados para
.
-
então . -
então . -
então . -
então . -
então .
Esses pontos mostram a subida/descida típica de um cosseno comprimido: começa em máximoem , vai para em , mínimo em , volta a em e alcança em .
Passo 8
Instruções práticas para desenhar o gráfico (passo a passo na folha):
- Trace os eixos
e . Marque a linha média . - Marque as alturas
(mínimo) e (máximo). Essas são as extremas de oscilação. - No eixo
marque os pontos . Use as coordenadas da tabela do Passo 7 e plote os pontos . - Ligue suavemente esses pontos com a forma ondulada característica do cosseno (curva suave, sem “pontas”), lembrando que entre os pontos a curva é contínua e diferenciável.
- Repita o padrão para a direita e para a esquerda com período
. Como a função é par, o ramo para é o espelho do ramo para .
Dica prática: desenhe primeiro o arco do cosseno padrão comprimido (de 0 a) e depois desloque verticalmente por ou, alternativamente, desenhe e eleve todo o gráfico de uma unidade.
Passo 9
Resumo conceitual que ajuda na hora da prova:
- Representações equivalentes:
. - Período:
. - Amplitude:
. - Reta média:
. - Intervalo de variação:
. - Máximos: em
com . - Mínimos: em
com . - Cruzamentos da reta média:
.
Seguindo esses passos, o esboço ficará correto e pode ser feito sem calculadora.
Resposta
Período
.
Amplitude .
Reta média .
Intervalo de valores .
Máximos em com
.
Mínimos em com
.
Cruzamentos da reta média em com
.
Amplitude
Reta média
Intervalo de valores
Máximos em
Mínimos em
Cruzamentos da reta média em