Exercício 0.1 Construa o gráfico das funções
f(x)=1+\cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede: construir o gráfico da função \,f(x)=1+\cos 2x\,.
Informações dadas e objetivo (sem resolver ainda):
  • A função é \,f(x)=1+\cos 2x.
  • O domínio natural é todo o eixo real: \,x\in(-\infty,\infty).
  • O objetivo é obter um esboço preciso do gráfico, identificando período, amplitude, deslocamentos, máximos, mínimos, pontos notáveis e mostrar como traçar uma repetição periódica.

Passo 2

Transformação trigonométrica útil (identidade do ângulo duplo). Vou deduzir uma forma alternativa de \,f(x) que ajuda a entender a forma do gráfico.
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1
Substituindo em \,f(x)=1+\cos 2x\, obtemos
f(x)=1 + \bigl(2\cos^2 x - 1\bigr)
f(x)=2\cos^2 x
Explicação didática: a identidade \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 é uma fórmula padrão que expressa o cosseno do ângulo duplo em termos de \cos x. Aqui transformamos a função para \,f(x)=2\cos^2 x\,, o que já indica que f(x) é sempre não negativa e fornece a amplitude máxima de forma direta.

Passo 3

Amplitude, deslocamento vertical e faixa de valores (range).
  • Para uma função da forma \,A\cos(Bx)+D\,, a amplitude é |A| e a reta média é y=D. No caso \,f(x)=1+\cos 2x\, temos A=1 e D=1.
  • Assim a amplitude é \,|A|=1 e a reta média (midline) é \,y=1.
  • Usando \,f(x)=2\cos^2 x\,, vemos que \cos^2 x\in[0,1] então \,f(x)\in[0,2].
    Conclusão: o gráfico oscila entre \,y_{\min}=0\, e \,y_{\max}=2\, em torno da linha \,y=1.

Passo 4

Período da função.
  • Para \cos(Bx) o período é \,\dfrac{2\pi}{B}.
  • Aqui temos \cos 2x com B=2, logo o período é
T=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Explicação didática: isso significa que o padrão do gráfico se repete a cada distância \pi no eixo x. O cosseno padrão tem período 2\pi; ao colocar 2x comprimimos a curva horizontalmente por fator 2, reduzindo o período para \pi.

Passo 5

Simetria da função.
  • Verificando paridade:
f(-x)=1+\cos(-2x)=1+\cos 2x=f(x).
Portanto \,f é uma função par (simétrica em relação ao eixo y). Na prática, basta desenhar para x\ge 0 e espelhar para x<0.

Passo 6

Pontos notáveis: máximos, mínimos e cruzamentos da reta média.
  • Máximos: quando \cos 2x = 1 então f(x)=2. Resolver \cos 2x=1:
2x=2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo máximos em x=k\pi com f(k\pi)=2.
  • Mínimos: quando \cos 2x = -1 então f(x)=0. Resolver \cos 2x=-1:
2x=(2k+1)\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{(2k+1)\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
Logo mínimos em x=\dfrac{(2k+1)\pi}{2} com f\!\left(\dfrac{(2k+1)\pi}{2}\right)=0.
  • Cruzamentos com a reta média \,y=1: quando \cos 2x=0, isto é
2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
Nesses pontos f(x)=1.

Passo 7

Tabela de pontos úteis no intervalo \,[0,\pi] (um período completo), que facilita o esboço; esses valores podem ser repetidos periodicamente e espelhados para x<0.
  • x=0 \Rightarrow \cos 0=1 então \,f(0)=1+\cos 0=2.
  • x=\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow \cos\bigl(2\cdot\dfrac{\pi}{4}\bigr)=\cos\dfrac{\pi}{2}=0 então \,f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1.
  • x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow \cos\bigl(2\cdot\dfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\pi=-1 então \,f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
  • x=\dfrac{3\pi}{4} \Rightarrow \cos\bigl(2\cdot\dfrac{3\pi}{4}\bigr)=\cos\dfrac{3\pi}{2}=0 então \,f\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=1.
  • x=\pi \Rightarrow \cos 2\pi=1 então \,f(\pi)=2.
    Esses pontos mostram a subida/descida típica de um cosseno comprimido: começa em máximo 2 em x=0, vai para 1 em x=\pi/4, mínimo 0 em x=\pi/2, volta a 1 em x=3\pi/4 e alcança 2 em x=\pi.

Passo 8

Instruções práticas para desenhar o gráfico (passo a passo na folha):
  1. Trace os eixos x e y. Marque a linha média y=1.
  2. Marque as alturas y=0 (mínimo) e y=2 (máximo). Essas são as extremas de oscilação.
  3. No eixo x marque os pontos x=0,\;\dfrac{\pi}{4},\;\dfrac{\pi}{2},\;\dfrac{3\pi}{4},\;\pi. Use as coordenadas da tabela do Passo 7 e plote os pontos (0,2),\;\bigl(\tfrac{\pi}{4},1\bigr),\;\bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr),\;\bigl(\tfrac{3\pi}{4},1\bigr),\;(\pi,2).
  4. Ligue suavemente esses pontos com a forma ondulada característica do cosseno (curva suave, sem “pontas”), lembrando que entre os pontos a curva é contínua e diferenciável.
  5. Repita o padrão para a direita e para a esquerda com período \pi. Como a função é par, o ramo para x<0 é o espelho do ramo para x>0.
    Dica prática: desenhe primeiro o arco do cosseno padrão comprimido (de 0 a \pi) e depois desloque verticalmente por +1 ou, alternativamente, desenhe g(x)=\cos 2x e eleve todo o gráfico de g uma unidade.

Passo 9

Resumo conceitual que ajuda na hora da prova:
  • Representações equivalentes: \,f(x)=1+\cos 2x=2\cos^2 x.
  • Período: \,T=\pi.
  • Amplitude: \,1.
  • Reta média: \,y=1.
  • Intervalo de variação: \,[0,2].
  • Máximos: em x=k\pi com f=2.
  • Mínimos: em x=\dfrac{(2k+1)\pi}{2} com f=0.
  • Cruzamentos da reta média: x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}.
    Seguindo esses passos, o esboço ficará correto e pode ser feito sem calculadora.

Resposta

Período T=\pi.
Amplitude =1.
Reta média y=1.
Intervalo de valores [0,2].
Máximos em x=k\pi com f(k\pi)=2.
Mínimos em x=\dfrac{(2k+1)\pi}{2} com f\!\left(\dfrac{(2k+1)\pi}{2}\right)=0.
Cruzamentos da reta média em x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2} com f=1.

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