Exercício 0.17 Resolva as seguintes inequações, em \mathbb{R},
\cos 2 x+\cos x \leq-1

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} a inequação
\cos 2x + \cos x \leq -1.
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • Trata-se de uma inequação trigonométrica envolvendo \cos 2x e \cos x.
  • Espera-se a descrição de todos os x reais que satisfazem a desigualdade (formato com parâmetros inteiros para a periodicidade).

Passo 2

Vamos transformar a inequação usando uma identidade trigonométrica básica. A identidade que liga \cos 2x a \cos x é
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1.
Explicação curta da identidade: é uma das fórmulas de duplicação do cosseno; surgem de escrever \cos(2x)=\cos(x+x) e aplicar as fórmulas de soma de cosseno, ou lembrando que \cos^2 x = \tfrac{1+\cos 2x}{2}.

Passo 3

Substituindo \cos 2x = 2\cos^2 x -1 na inequação, obtemos
2\cos^2 x - 1 + \cos x \leq -1.
Agora somamos 1 em ambos os lados para simplificar:
2\cos^2 x + \cos x \leq 0.

Passo 4

Para resolver a inequação, faça a mudança t=\cos x. Observe que t varia em [-1,1]. A inequação em t fica
2t^2 + t \leq 0.
Fatorando:
t(2t+1) \leq 0.
As raízes da equação associada 2t^2+t=0 são t=0 e t=-\tfrac{1}{2}. Como o coeficiente de t^2 é positivo ( 2>0), a parábola abre para cima, logo a desigualdade t(2t+1)\le0 é satisfeita para t entre as raízes. Portanto
-\tfrac{1}{2} \le t \le 0.
Voltando para \cos x, temos
-\tfrac{1}{2} \le \cos x \le 0.

Passo 5

Agora precisamos descrever todos os x tais que \cos x \in [-\tfrac{1}{2},0].
Primeiro lembrete útil: para a\in[-1,1], as soluções de \cos x = a são
x = \operatorname{arccos}(a) + 2k\pi \quad\text{ou}\quad x = -\operatorname{arccos}(a) + 2k\pi,
com k\in\mathbb{Z}. Além disso, \operatorname{arccos} dá o ângulo no intervalo [0,\pi].
Aplicando aos pontos extremos do intervalo:
\operatorname{arccos}(0)=\tfrac{\pi}{2},\qquad \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{2\pi}{3}.
Como \cos x é decrescente em [0,\pi] (vai de 1 a -1), os x com \cos x\in[-\tfrac{1}{2},0] no período principal [0,2\pi) formam dois intervalos:
  • de x=\tfrac{\pi}{2} até x=\tfrac{2\pi}{3} (onde \cos vai de 0 até -\tfrac{1}{2});
  • e, simetricamente no outro semi-período, de x=\tfrac{4\pi}{3} até x=\tfrac{3\pi}{2} (onde \cos volta de -\tfrac{1}{2} até 0).
Para incluir a periodicidade 2\pi, somamos 2k\pi a esses intervalos, com k\in\mathbb{Z}. Assim os x que satisfazem -\tfrac{1}{2}\le\cos x\le0 são exatamente
x\in\bigl[\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\\ \tfrac{2\pi}{3}+2k\pi\bigr]\\ \cup\\ \bigl[\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\\ \tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\bigr],\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Verificação rápida dos pontos-chave:
  • Os extremos estão incluídos porque a desigualdade original é com \le.
  • Para um x em qualquer um desses intervalos, \cos x fica entre -\tfrac{1}{2} e 0, logo satisfaz a inequação transformada 2\cos^2 x+\cos x\le0, que veio da inequação dada. Assim a solução está completa.

Resposta

x\in\bigl[\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\\ \tfrac{2\pi}{3}+2k\pi\bigr]\\ \cup\\ \bigl[\tfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\\ \tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\bigr],\qquad k\in\mathbb{Z}.

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