Exercício 0.17 Resolva as seguintes inequações, em
,
Passo 1
O enunciado pede: resolver em
a inequação
Informações relevantes dadas:
- A incógnita é
. - Trata-se de uma inequação trigonométrica envolvendo
e . - Espera-se a descrição de todos os
reais que satisfazem a desigualdade (formato com parâmetros inteiros para a periodicidade).
Passo 2
Vamos transformar a inequação usando uma identidade trigonométrica básica. A identidade que liga
a
é
Explicação curta da identidade: é uma das fórmulas de duplicação do cosseno; surgem de escrever
e aplicar as fórmulas de soma de cosseno, ou lembrando que
.
Passo 3
Substituindo
na inequação, obtemos
Agora somamos
em ambos os lados para simplificar:
Passo 4
Para resolver a inequação, faça a mudança
. Observe que
varia em
. A inequação em
fica
Fatorando:
As raízes da equação associada
são
e
. Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima, logo a desigualdade
é satisfeita para
entre as raízes. Portanto
Voltando para
, temos
Passo 5
Agora precisamos descrever todos os
tais que
.
Primeiro lembrete útil: para
, as soluções de
são
com
. Além disso,
dá o ângulo no intervalo
.
Aplicando aos pontos extremos do intervalo:
Como
é decrescente em
(vai de
a
), os
com
no período principal
formam dois intervalos:
- de
até (onde vai de até ); - e, simetricamente no outro semi-período, de
até (onde volta de até ).
Para incluir a periodicidade
, somamos
a esses intervalos, com
. Assim os
que satisfazem
são exatamente
Passo 6
Verificação rápida dos pontos-chave:
- Os extremos estão incluídos porque a desigualdade original é com
. - Para um
em qualquer um desses intervalos, fica entre e , logo satisfaz a inequação transformada , que veio da inequação dada. Assim a solução está completa.