Exercício 0.17 Resolva as seguintes inequações, em
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a inequação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função envolvida é
. - A desigualdade tem duas partes:
e . - A solução deve ser descrita para todos os
.
Passo 2
Observação importante sobre o alcance (imagem) da função
: para todo
vale
Isto significa que o menor valor que
pode assumir é
.
Passo 3
Comparando a parte esquerda da desigualdade com o alcance de
: como
e
, tem-se que para todo
Logo a desigualdade
é satisfeita por todos os
. Portanto a condição dada se reduz à parte não trivial:
Passo 4
Vamos resolver
. Primeiro achamos os pontos onde
. Sabemos que
(Isto vem do fato de que
se anula nos pontos
e
no intervalo
, e a função é
-periódica.)
Passo 5
Agora determinamos em que intervalos a função
é negativa. Observe no intervalo principal
:
-
para , -
em e , -
para .
Devido à periodicidade de
, essas regiões se repetem a cada
.
Passo 6
Como queremos
, incluímos os pontos em que
. No intervalo principal a solução é
Aplicando a periodicidade, a solução geral em
é a reunião desses intervalos deslocados por
, com
. Assim: