Exercício 0.17 Resolva as seguintes inequações, em \mathbb{R},
-\frac{3}{2} \leq \cos x \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
-\frac{3}{2} \leq \cos x \leq 0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função envolvida é \cos x.
  • A desigualdade tem duas partes: -\tfrac{3}{2} \leq \cos x e \cos x \leq 0.
  • A solução deve ser descrita para todos os x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Observação importante sobre o alcance (imagem) da função \cos: para todo x\in\mathbb{R} vale
-1 \leq \cos x \leq 1.
Isto significa que o menor valor que \cos x pode assumir é -1.

Passo 3

Comparando a parte esquerda da desigualdade com o alcance de \cos: como -\tfrac{3}{2}=-1{,}5 e -1 \geq -\tfrac{3}{2}, tem-se que para todo x
\cos x \geq -1 \quad\Rightarrow\quad \cos x \geq -1 \geq -\tfrac{3}{2}.
Logo a desigualdade -\tfrac{3}{2}\leq\cos x é satisfeita por todos os x. Portanto a condição dada se reduz à parte não trivial:
\cos x \leq 0.

Passo 4

Vamos resolver \cos x \leq 0. Primeiro achamos os pontos onde \cos x = 0. Sabemos que
\cos x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
(Isto vem do fato de que \cos se anula nos pontos \tfrac{\pi}{2} e \tfrac{3\pi}{2} no intervalo [0,2\pi), e a função é 2\pi-periódica.)

Passo 5

Agora determinamos em que intervalos a função \cos x é negativa. Observe no intervalo principal [0,2\pi):
  • \cos x > 0 para x\in(0,\tfrac{\pi}{2})\cup( \tfrac{3\pi}{2},2\pi),
  • \cos x = 0 em x=\tfrac{\pi}{2} e x=\tfrac{3\pi}{2},
  • \cos x < 0 para x\in(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}).
Devido à periodicidade de 2\pi, essas regiões se repetem a cada 2\pi.

Passo 6

Como queremos \cos x \leq 0, incluímos os pontos em que \cos x=0. No intervalo principal a solução é
x\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right].
Aplicando a periodicidade, a solução geral em \mathbb{R} é a reunião desses intervalos deslocados por 2k\pi, com k\in\mathbb{Z}. Assim:
x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\;\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right].

Resposta

x\in\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\;\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]

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