Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
y=3 \cdot 2^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede que eu construa o gráfico cartesiano da função
y=3\cdot 2^{x+1}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{função: }y=3\cdot 2^{x+1}.çã
O que devo obter com a construção do gráfico: domínio, imagem (ou intervalo de valores), assíntota, interceptos com os eixos, comportamento quando x\to\pm\infty, pontos-chave para desenhar a curva e instruções passo a passo para traçar o gráfico.

Passo 2

Vamos lembrar, numa linguagem bem direta, como são as funções exponenciais básicas — isso é importante para saber o que desenhar.
A função exponencial “pai” que eu vou usar como referência é
y=2^{x},
porque a base do nosso problema é 2. Propriedades dessa função pai:
  • Domínio: todos os números reais, isto é \mathbb{R}.
  • Imagem: todos os números positivos, ou seja (0,\infty).
  • Assíntota horizontal: a reta y=0 (o gráfico se aproxima de y=0 quando x\to -\infty).
  • É crescente (porque a base 2>1).
  • Ponto conhecido: passa por (0,1) pois 2^{0}=1.
Essas propriedades serão a base para entender o que acontece quando aplicamos transformações (multiplicar por constantes, somar no expoente etc.).

Passo 3

Agora vou analisar exatamente a forma dada e simplificá-la para ver as transformações aplicadas à função 2^{x}.
Começo com a função do enunciado:
y=3\cdot 2^{x+1}.
Usando a identidade exponencial \,2^{x+1}=2^{1}\cdot 2^{x}=2\cdot 2^{x}\,, posso reescrever a função:
y=3\cdot (2\cdot 2^{x}) = (3\cdot 2)\cdot 2^{x} = 6\cdot 2^{x}.
Isso é importante: a função é exatamente igual a
y=6\cdot 2^{x}.
Então, em vez de interpretar x+1 como um deslocamento horizontal isolado, a identidade mostra que aqui isso equivale a multiplicar por 2 e depois por 3: no total um fator multiplicativo 6 em relação a 2^{x}.

Passo 4

Interpretação das transformações e consequências para o gráfico.
A forma y=6\cdot 2^{x} é a função exponencial base 2 multiplicada por 6. Em termos de transformações:
  • Multiplicar por 6 é uma dilatação vertical (esticamento) do gráfico de y=2^{x} por fator 6. Todo y da função pai é multiplicado por 6.
  • Não há translação vertical (nenhum +k fora) nem translação horizontal efetiva além da equivalência usada acima — matematicamente a expressão original já foi absorvida no fator 6.
    Efeitos imediatos:
  • A assíntota horizontal continua sendo y=0 (multiplicar por um número positivo não muda a assíntota y=0).
  • A função é crescente (base >1 e fator positivo).
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Imagem (contraste com a pai): ainda é (0,\infty). O gráfico fica “mais alto”, mas os valores continuam positivos.

Passo 5

Interceptos e comportamento assintótico — vamos calcular com calma.
Y-intercept (quando x=0):
y(0)=6\cdot 2^{0}=6\cdot 1=6.
Então o ponto onde cruza o eixo y é (0,6).
X-intercept (procuramos solução de 6\cdot 2^{x}=0). Como 2^{x}>0 para todo x e 6>0, o produto nunca é zero. Logo:
  • Não existe intercepto com o eixo x (não atravessa o eixo x).
Assíntota horizontal:
\lim_{x\to -\infty}6\cdot 2^{x}=6\cdot 0 = 0,
logo a assíntota é y=0. Conforme x\to +\infty, y\to +\infty.

Passo 6

Vamos calcular alguns pontos-chave que ajudam a desenhar o gráfico (vou escolher x=-2,-1,0,1,2) e mostrar as contas passo a passo:
Para x=-2:
y(-2)=6\cdot 2^{-2}=6\cdot \frac{1}{2^{2}}=6\cdot \frac{1}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5.
Para x=-1:
y(-1)=6\cdot 2^{-1}=6\cdot \frac{1}{2}=3.
Para x=0:
y(0)=6\cdot 2^{0}=6\cdot 1=6.
Para x=1:
y(1)=6\cdot 2^{1}=6\cdot 2=12.
Para x=2:
y(2)=6\cdot 2^{2}=6\cdot 4=24.
Resumo dos pontos que vou traçar: (-2,1{,}5),\;(-1,3),\;(0,6),\;(1,12),\;(2,24).

Passo 7

Instruções práticas (passo a passo) para desenhar o gráfico na folha cartesiana — faça assim na prova:
  1. Desenhe os eixos x e y e marque algumas unidades de senso (escala uniforme). Como os valores crescem rápido, marque mais unidades positivas no eixo y (por exemplo cada divisão vale 1 ou 2 unidades; se preferir, faça marcações maiores para y).
  2. Trace a assíntota horizontal y=0 (reta do eixo x); indique que a curva se aproxima dela à esquerda.
  3. Plote os pontos calculados: (-2,1{,}5), (-1,3), (0,6), (1,12), (2,24).
  4. Coloque um marcador especial no ponto (0,6) — é o intercepto com o eixo y.
  5. Una os pontos com uma curva suave, estritamente crescente, que para a esquerda se aproxima de y=0 sem nunca tocar e para a direita sobe rapidamente (tendendo a +\infty).
  6. Verifique: não vai haver cruzamento do eixo x; a curva está sempre acima de y=0.
Dica prática: comece desenhando os pontos à esquerda (onde a curva fica muito perto de zero) e depois desenhe a parte à direita mais inclinada; isso evita desenhar uma curva plana onde deveria subir rápido.

Passo 8

Observações finais e interpretação intuitiva para fixar a ideia (aquele empurrãozinho motivacional):
  • A função é exponencial com base 2 e fator multiplicativo 6. Comparada com y=2^{x}, todas as ordens de y são multiplicadas por 6, por isso em x=0 em vez de 1 temos 6.
  • Quando tiver formas com b^{x+h} vale lembrar a identidade geral
b^{x+h}=b^{h}\cdot b^{x},
que frequentemente transforma um “deslocamento” no expoente em um fator multiplicativo — é exatamente o que aconteceu aqui: 2^{x+1}=2\cdot 2^{x}.
  • Você consegue traçar esse gráfico à mão rapidamente seguindo os passos: encontrar a forma simplificada, calcular interceptos e alguns pontos e ligar com uma curva suave.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (0,\infty)
Assíntota: y=0
Intercepto com y: (0,6)
Intercepto com x: nenhum (não existe)
Monotonicidade: crescente em \mathbb{R}
Pontos-chave para desenhar: (-2,1{,}5),\;(-1,3),\;(0,6),\;(1,12),\;(2,24)

Exercícios relacionados