Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede que eu construa o gráfico cartesiano da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O que devo obter com a construção do gráfico: domínio, imagem (ou intervalo de valores), assíntota, interceptos com os eixos, comportamento quando
, pontos-chave para desenhar a curva e instruções passo a passo para traçar o gráfico.
Passo 2
Vamos lembrar, numa linguagem bem direta, como são as funções exponenciais básicas — isso é importante para saber o que desenhar.
A função exponencial “pai” que eu vou usar como referência é
porque a base do nosso problema é
. Propriedades dessa função pai:
- Domínio: todos os números reais, isto é
. - Imagem: todos os números positivos, ou seja
. - Assíntota horizontal: a reta
(o gráfico se aproxima de quando ). - É crescente (porque a base
). - Ponto conhecido: passa por
pois .
Essas propriedades serão a base para entender o que acontece quando aplicamos transformações (multiplicar por constantes, somar no expoente etc.).
Passo 3
Agora vou analisar exatamente a forma dada e simplificá-la para ver as transformações aplicadas à função
.
Começo com a função do enunciado:
Usando a identidade exponencial
, posso reescrever a função:
Isso é importante: a função é exatamente igual a
Então, em vez de interpretar
como um deslocamento horizontal isolado, a identidade mostra que aqui isso equivale a multiplicar por
e depois por
: no total um fator multiplicativo
em relação a
.
Passo 4
Interpretação das transformações e consequências para o gráfico.
A forma
é a função exponencial base
multiplicada por
. Em termos de transformações:
- Multiplicar por
é uma dilatação vertical (esticamento) do gráfico de por fator . Todo da função pai é multiplicado por . - Não há translação vertical (nenhum
fora) nem translação horizontal efetiva além da equivalência usada acima — matematicamente a expressão original já foi absorvida no fator .
Efeitos imediatos: - A assíntota horizontal continua sendo
(multiplicar por um número positivo não muda a assíntota ). - A função é crescente (base
e fator positivo). - Domínio:
. - Imagem (contraste com a pai): ainda é
. O gráfico fica “mais alto”, mas os valores continuam positivos.
Passo 5
Interceptos e comportamento assintótico — vamos calcular com calma.
Y-intercept (quando
):
Então o ponto onde cruza o eixo
é
.
X-intercept (procuramos solução de
). Como
para todo
e
, o produto nunca é zero. Logo:
- Não existe intercepto com o eixo
(não atravessa o eixo ).
Assíntota horizontal:
logo a assíntota é
. Conforme
,
.
Passo 6
Vamos calcular alguns pontos-chave que ajudam a desenhar o gráfico (vou escolher
) e mostrar as contas passo a passo:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resumo dos pontos que vou traçar:
.
Passo 7
Instruções práticas (passo a passo) para desenhar o gráfico na folha cartesiana — faça assim na prova:
- Desenhe os eixos
e e marque algumas unidades de senso (escala uniforme). Como os valores crescem rápido, marque mais unidades positivas no eixo (por exemplo cada divisão vale ou unidades; se preferir, faça marcações maiores para ). - Trace a assíntota horizontal
(reta do eixo ); indique que a curva se aproxima dela à esquerda. - Plote os pontos calculados:
, , , , . - Coloque um marcador especial no ponto
— é o intercepto com o eixo . - Una os pontos com uma curva suave, estritamente crescente, que para a esquerda se aproxima de
sem nunca tocar e para a direita sobe rapidamente (tendendo a ). - Verifique: não vai haver cruzamento do eixo
; a curva está sempre acima de .
Dica prática: comece desenhando os pontos à esquerda (onde a curva fica muito perto de zero) e depois desenhe a parte à direita mais inclinada; isso evita desenhar uma curva plana onde deveria subir rápido.
Passo 8
Observações finais e interpretação intuitiva para fixar a ideia (aquele empurrãozinho motivacional):
- A função é exponencial com base
e fator multiplicativo . Comparada com , todas as ordens de são multiplicadas por , por isso em em vez de temos . - Quando tiver formas com
vale lembrar a identidade geral
que frequentemente transforma um “deslocamento” no expoente em um fator multiplicativo — é exatamente o que aconteceu aqui:
.
- Você consegue traçar esse gráfico à mão rapidamente seguindo os passos: encontrar a forma simplificada, calcular interceptos e alguns pontos e ligar com uma curva suave.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Assíntota:
Intercepto com :
Intercepto com : nenhum (não existe)
Monotonicidade: crescente em
Pontos-chave para desenhar:
Imagem:
Assíntota:
Intercepto com
Intercepto com
Monotonicidade: crescente em
Pontos-chave para desenhar: