Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
y=-0,1 \cdot 2^{2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede que eu construa o gráfico cartesiano da função exponencial dada. A função fornecida é
y=-0,1\cdot 2^{2x-3}.
Informações explícitas do enunciado:
  • A função é \;y=-0,1\cdot 2^{2x-3}.
  • A tarefa: construir (desenhar) o gráfico — isto envolve identificar domínio, imagem (range), assíntota, interceptos, comportamento para x\to\pm\infty, pontos especiais e como traçar a curva.

Passo 2

Entendendo o que é uma função exponencial (mini-aula):
  • Uma função exponencial tem a forma \;a\cdot b^{x+c}+d, onde b>0 e b\neq1. Aqui as partes são:
    • b é a base que determina crescimento ou decaimento. Se b>1 a função (antes de multiplicar por constantes) cresce quando x aumenta; se 0<b<1 decai.
    • a escala verticalmente e, se negativo, inverte a curva em relação ao eixo x.
    • c e d deslocam horizontal e verticalmente.
  • Domínio: para qualquer exponencial do tipo b^{\text{algo}}, o domínio é todos os reais, isto é \;(-\infty,\infty).
  • A assíntota horizontal típica (quando não há +d) é y=0; multiplicadores não alteram que a curva se aproxima de zero quando a potência tende a -\infty, mas podem inverter o lado (positivo/negativo).
  • Importante: b^x>0 para todo x, então a exponencial nunca atinge zero nem passa para o outro lado do eixo x a menos que multiplicada por algo que mude o sinal.

Passo 3

Simplificação algébrica e reescritas úteis (para facilitar análise):
  • Primeiro escrevo -0,1 como fração: -0,1=-\tfrac{1}{10}.
  • Reescrevo a potência: 2^{2x-3}=2^{2(x-1{,}5)}=(2^2)^{\,x-1{,}5}=4^{\,x-1{,}5}.Logo a função pode ser escrita como y=-\tfrac{1}{10}\cdot 4^{\,x-1{,}5}.
  • Outra forma também útil (fatorando a parte independente de x) é: 2^{2x-3}=2^{-3}\cdot 2^{2x}=\tfrac{1}{8}\cdot 4^{x},então y=-\tfrac{1}{10}\cdot \tfrac{1}{8}\cdot 4^{x}=-\tfrac{1}{80}\cdot 4^{x}.Ambas as formas são equivalentes e servem para diferentes interpretações.

Passo 4

Interpretação por transformações (como obter o gráfico a partir de 4^{x}):
  • Comece com a função base \;g(x)=4^{x}. Ela é positiva, cresce rapidamente, tem assíntota y=0 por baixo e passa por (0,1).
  • Substituir x por x-1{,}5 desloca o gráfico para a direita em 1{,}5 unidades. Assim \;4^{x-1{,}5} é g deslocada para a direita.
  • Multiplicar por -\tfrac{1}{10}:
    • O fator \tfrac{1}{10} comprime verticalmente por fator 10 (faz os valores ficarem 10 vezes menores).
    • O sinal negativo reflete a curva em relação ao eixo x (o que era positivo vira negativo).
  • Conclusão das transformações: a partir de g(x)=4^{x}, fazemos:
    1. deslocamento para a direita 1{,}5,
    2. contração vertical por 10,
    3. reflexão em relação ao eixo x.
      Resultado: uma curva negativa, decrescente (porque a base 4 cresce mas o coeficiente é negativo), que se aproxima de y=0 por baixo.

Passo 5

Domínio, imagem, assíntota, interceptos e monotonicidade (com justificativas):
  • Domínio: \;(-\infty,\infty) porque a exponencial está definida para todo x.
  • Assíntota horizontal: \;y=0. Justificativa: 4^{x-1{,}5}>0 sempre, e -\tfrac{1}{10}\cdot 4^{x-1{,}5} tende a 0 quando x\to -\infty; como o coeficiente é negativo, a aproximação é por valores negativos, ou seja, a curva se aproxima de 0 por baixo.
  • Imagem (range): \;(-\infty,0). Justificativa: 4^{x-1{,}5}>0 então multiplicado por -\tfrac{1}{10} dá sempre número negativo; o valor pode ficar arbitrariamente negativo quando x\to\infty, portanto todos os negativos.
  • Interceptos:
    • Intercepto em y (quando x=0): y(0)=-0,1\cdot 2^{2\cdot 0-3}=-0,1\cdot 2^{-3}=-0,1\cdot \tfrac{1}{8}=-\tfrac{1}{80}=-0{,}0125.Então o ponto é \;(0,-0{,}0125).
    • Intercepto em x: não existe, porque para ter y=0 precisaríamos 4^{x-1{,}5}=0, o que nunca ocorre.
  • Monotonicidade: a função é estritamente decrescente em todo \mathbb{R}. Justificativa: 4^{x} é crescente; multiplicar por -\tfrac{1}{80} inverte o sentido, tornando a função decrescente.

Passo 6

Cálculo de pontos práticos para desenhar (faça uma tabela e marque no plano):
Vou calcular y para x=-1,0,1,2,3,4 usando a forma -0{,}1\cdot 2^{2x-3} (cada conta mostrada).
  • Para x=-1: y(-1)=-0{,}1\cdot 2^{2(-1)-3}=-0{,}1\cdot 2^{-5}=-0{,}1\cdot \tfrac{1}{32}=-\tfrac{1}{320}=-0{,}003125.
  • Para x=0: y(0)=-0{,}1\cdot 2^{-3}=-0{,}1\cdot \tfrac{1}{8}=-\tfrac{1}{80}=-0{,}0125.
  • Para x=1: y(1)=-0{,}1\cdot 2^{2-3}=-0{,}1\cdot 2^{-1}=-0{,}1\cdot \tfrac{1}{2}=-0{,}05.
  • Para x=2: y(2)=-0{,}1\cdot 2^{4-3}=-0{,}1\cdot 2^{1}=-0{,}2.
  • Para x=3: y(3)=-0{,}1\cdot 2^{6-3}=-0{,}1\cdot 2^{3}=-0{,}1\cdot 8=-0{,}8.
  • Para x=4: y(4)=-0{,}1\cdot 2^{8-3}=-0{,}1\cdot 2^{5}=-0{,}1\cdot 32=-3{,}2.
Tabela de pontos (para marcar no desenho): \;(-1,-0{,}003125),\;(0,-0{,}0125),\;(1,-0{,}05),\;(2,-0{,}2),\;(3,-0{,}8),\;(4,-3{,}2).

Passo 7

Como desenhar o gráfico passo a passo (instrução prática para a prova):
  1. Desenhe um plano cartesiano com eixo x e eixo y. Marque a linha y=0 como uma assíntota (tracejada).
  2. Marque o ponto de intercepto em y: (0,-0{,}0125). Isso está bem próximo do eixo x abaixo dele — importante para escala.
  3. Marque os outros pontos calculados: (-1,-0{,}003125) muito próximo de zero; (1,-0{,}05) um pouco mais abaixo; (2,-0{,}2),\;(3,-0{,}8),\;(4,-3{,}2).
  4. Ligue suavemente esses pontos com uma curva contínua e decrescente que:
    • Se aproxima de y=0 pela parte negativa quando x\to -\infty.
    • Cai rapidamente para valores negativos grandes quando x cresce (para a direita).
  5. Lembre-se: não há cruzamento do eixo x; a curva permanece sempre negativa.
  6. Se quiser usar a interpretação por transformações: desenhe primeiro 4^{x} deslocada 1{,}5 para direita e depois “achate” por 10 e reflita no eixo x.

Passo 8

Resumo visual-verbal para fixar (o que o gráfico mostra rapidamente):
  • Curva sempre abaixo do eixo x (negativa).
  • Aproxima-se do eixo x à esquerda (tende a 0^-).
  • Desce para -\infty à direita.
  • Passa por (0,-0{,}0125) e por (2,-0{,}2), (3,-0{,}8), etc.
  • Assíntota: y=0. Domínio: todos os reais. Imagem: (-\infty,0).

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: (-\infty,0)
Assíntota horizontal: y=0
Intercepto em y: (0,-0{,}0125)
Intercepto em x: não existe
Comportamento: \displaystyle\lim_{x\to-\infty}y=0^{-}, \displaystyle\lim_{x\to\infty}y=-\infty
Monotonicidade: função estritamente decrescente em \mathbb{R}
Pontos para desenhar: (-1,-0{,}003125), (0,-0{,}0125), (1,-0{,}05), (2,-0{,}2), (3,-0{,}8), (4,-3{,}2)

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