Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede que eu construa o gráfico cartesiano da função exponencial dada. A função fornecida é
Informações explícitas do enunciado:
- A função é
. - A tarefa: construir (desenhar) o gráfico — isto envolve identificar domínio, imagem (range), assíntota, interceptos, comportamento para
, pontos especiais e como traçar a curva.
Passo 2
Entendendo o que é uma função exponencial (mini-aula):
- Uma função exponencial tem a forma
, onde e . Aqui as partes são: -
é a base que determina crescimento ou decaimento. Se a função (antes de multiplicar por constantes) cresce quando aumenta; se decai. -
escala verticalmente e, se negativo, inverte a curva em relação ao eixo . -
e deslocam horizontal e verticalmente.
-
- Domínio: para qualquer exponencial do tipo
, o domínio é todos os reais, isto é . - A assíntota horizontal típica (quando não há
) é ; multiplicadores não alteram que a curva se aproxima de zero quando a potência tende a , mas podem inverter o lado (positivo/negativo). - Importante:
para todo , então a exponencial nunca atinge zero nem passa para o outro lado do eixo a menos que multiplicada por algo que mude o sinal.
Passo 3
Simplificação algébrica e reescritas úteis (para facilitar análise):
- Primeiro escrevo
como fração: . - Reescrevo a potência:
Logo a função pode ser escrita como - Outra forma também útil (fatorando a parte independente de
) é: então Ambas as formas são equivalentes e servem para diferentes interpretações.
Passo 4
Interpretação por transformações (como obter o gráfico a partir de
):
- Comece com a função base
. Ela é positiva, cresce rapidamente, tem assíntota por baixo e passa por . - Substituir
por desloca o gráfico para a direita em unidades. Assim é deslocada para a direita. - Multiplicar por
: - O fator
comprime verticalmente por fator (faz os valores ficarem 10 vezes menores). - O sinal negativo reflete a curva em relação ao eixo
(o que era positivo vira negativo).
- O fator
- Conclusão das transformações: a partir de
, fazemos: - deslocamento para a direita
, - contração vertical por
, - reflexão em relação ao eixo
.
Resultado: uma curva negativa, decrescente (porque a basecresce mas o coeficiente é negativo), que se aproxima de por baixo.
- deslocamento para a direita
Passo 5
Domínio, imagem, assíntota, interceptos e monotonicidade (com justificativas):
- Domínio:
porque a exponencial está definida para todo . - Assíntota horizontal:
. Justificativa: sempre, e tende a quando ; como o coeficiente é negativo, a aproximação é por valores negativos, ou seja, a curva se aproxima de por baixo. - Imagem (range):
. Justificativa: então multiplicado por dá sempre número negativo; o valor pode ficar arbitrariamente negativo quando , portanto todos os negativos. - Interceptos:
- Intercepto em
(quando ): Então o ponto é . - Intercepto em
: não existe, porque para ter precisaríamos , o que nunca ocorre.
- Intercepto em
- Monotonicidade: a função é estritamente decrescente em todo
. Justificativa: é crescente; multiplicar por inverte o sentido, tornando a função decrescente.
Passo 6
Cálculo de pontos práticos para desenhar (faça uma tabela e marque no plano):
Vou calcular para
usando a forma
(cada conta mostrada).
Vou calcular
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Tabela de pontos (para marcar no desenho):
.
Passo 7
Como desenhar o gráfico passo a passo (instrução prática para a prova):
- Desenhe um plano cartesiano com eixo
e eixo . Marque a linha como uma assíntota (tracejada). - Marque o ponto de intercepto em
: . Isso está bem próximo do eixo abaixo dele — importante para escala. - Marque os outros pontos calculados:
muito próximo de zero; um pouco mais abaixo; . - Ligue suavemente esses pontos com uma curva contínua e decrescente que:
- Se aproxima de
pela parte negativa quando . - Cai rapidamente para valores negativos grandes quando
cresce (para a direita).
- Se aproxima de
- Lembre-se: não há cruzamento do eixo
; a curva permanece sempre negativa. - Se quiser usar a interpretação por transformações: desenhe primeiro
deslocada 1{,}5 para direita e depois “achate” por 10 e reflita no eixo .
Passo 8
Resumo visual-verbal para fixar (o que o gráfico mostra rapidamente):
- Curva sempre abaixo do eixo
(negativa). - Aproxima-se do eixo
à esquerda (tende a ). - Desce para
à direita. - Passa por
e por , , etc. - Assíntota:
. Domínio: todos os reais. Imagem: .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Assíntota horizontal:
Intercepto em :
Intercepto em : não existe
Comportamento: ,
Monotonicidade: função estritamente decrescente em
Pontos para desenhar: ,
,
,
,
,
Imagem:
Assíntota horizontal:
Intercepto em
Intercepto em
Comportamento:
Monotonicidade: função estritamente decrescente em
Pontos para desenhar: