Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
Passo 1
O enunciado dá a função exponencial
e pede para construir o gráfico cartesiano dessa função.
Informações explícitas do enunciado: a expressão da função é e devemos desenhar seu gráfico no plano cartesiano.
Informações explícitas do enunciado: a expressão da função é
Passo 2
Entendendo a família a que essa função pertence (mini-aula): uma função exponencial geral tem a forma
, onde
é um fator de escala vertical e
é a base. Aqui temos
e
. Algumas propriedades gerais que sempre ajudam a construir o gráfico:
Se
(como
), a função é crescente: quando
aumenta,
cresce. Vou explicar cada uma dessas propriedades na prática enquanto montamos o gráfico.
Passo 3
Propriedades específicas para
(mini-aula aplicada):
- O coeficiente
multiplica todos os valores de , isto é, comprime verticalmente a curva de pela metade. Então o gráfico de fica “metade” em altura. - Como
, a função é crescente: valores de maiores dão maiores. - A assíntota horizontal é
. Em linguagem de limites:
- Intercepto com o eixo
(quando ): . Então o ponto é fundamental para o desenho. Não há intercepto com o eixo porque sempre.
Passo 4
Estratégia prática para desenhar no papel (como fazer na prova):
- Calcular alguns pontos-chave (pelo menos 4 ou 5) com
negativos, zero e positivos. - Marcar a assíntota
(linha horizontal tracejada). - Plotar os pontos calculados.
- Ligar os pontos com uma curva suave, lembrando que para
a curva se aproxima de e para sobe rápido.
Passo 5
Cálculo passo a passo de pontos úteis (vou mostrar como obter cada valor, você faria iguais na prova sem calculadora usando frações simples):
Calcule primeiro e depois multiplique por
.
Calcule
- Para
: . Então
- Para
: . Então
- Para
: . Então
- Para
: . Então
- Para
: . Então
Resumo (pontos que você deve marcar no plano):
Passo 6
Como traçar a curva a partir desses pontos (passo a passo prático):
- Desenhe os eixos
e . Marque uma linha horizontal tracejada em (assíntota). - Marque o ponto
no eixo . Isso já te dá a altura inicial. - Marque também
e para ver a rapidez do crescimento à direita. - Para a esquerda, marque
e para ver a aproximação a zero. - Ligue os pontos com uma curva suave que passe por eles, ficando cada vez mais próxima de
quando é muito negativo e subindo aceleradamente quando aumenta. Não faça segmentos de reta — a curva é contínua e suave.
Passo 7
Observações finais e dicas de prova (mini-resumo motivador):
- Você só precisa de poucos pontos bem escolhidos e de saber a assíntota e o intercepto para esboçar o gráfico corretamente.
- Lembre-se: multiplicar por
não muda o formato, apenas “aperta” a curva na vertical; a posição do eixo onde cruza (no ) fica em . - Se o professor pedir uma comparação com
, mostre que todo de foi dividido por , então os pontos correspondentes ficam pela metade em .
Resposta
Gráfico: curva crescente com assíntota
, intercepto em
, e passa por
.