Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
y=\frac{1}{2} 3^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função exponencial y=\frac{1}{2}3^{x} e pede para construir o gráfico cartesiano dessa função.
Informações explícitas do enunciado: a expressão da função é y=\frac{1}{2}3^{x} e devemos desenhar seu gráfico no plano cartesiano.

Passo 2

Entendendo a família a que essa função pertence (mini-aula): uma função exponencial geral tem a forma y=a\cdot b^{x}, onde a é um fator de escala vertical e b é a base. Aqui temos a=\frac{1}{2} e b=3. Algumas propriedades gerais que sempre ajudam a construir o gráfico:
\text{domínio: }(-\infty,\infty),\qquad \text{(exponenciais estão definidas para todo }x\text{)}íã
\text{faixa (imagem): }(0,\infty)\\ \text{se }a>0 \text{ e } b>0,
\text{assíntota horizontal: }y=0\\ \text{(porque a função nunca toca o eixo }x\text{, só se aproxima)},íçãó
Se b>1 (como 3), a função é crescente: quando x aumenta, b^{x} cresce. Vou explicar cada uma dessas propriedades na prática enquanto montamos o gráfico.

Passo 3

Propriedades específicas para y=\frac{1}{2}3^{x} (mini-aula aplicada):
  • O coeficiente a=\frac{1}{2} multiplica todos os valores de 3^{x}, isto é, comprime verticalmente a curva de 3^{x} pela metade. Então o gráfico de 3^{x} fica “metade” em altura.
  • Como b=3>1, a função é crescente: valores de x maiores dão y maiores.
  • A assíntota horizontal é y=0. Em linguagem de limites:
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{2}3^{x}=0\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{2}3^{x}=+\infty.
  • Intercepto com o eixo y (quando x=0): y=\frac{1}{2}3^{0}=\frac{1}{2}. Então o ponto \left(0,\tfrac{1}{2}\right) é fundamental para o desenho. Não há intercepto com o eixo x porque y>0 sempre.

Passo 4

Estratégia prática para desenhar no papel (como fazer na prova):
  1. Calcular alguns pontos-chave (pelo menos 4 ou 5) com x negativos, zero e positivos.
  2. Marcar a assíntota y=0 (linha horizontal tracejada).
  3. Plotar os pontos calculados.
  4. Ligar os pontos com uma curva suave, lembrando que para x\to -\infty a curva se aproxima de y=0 e para x\to\infty sobe rápido.

Passo 5

Cálculo passo a passo de pontos úteis (vou mostrar como obter cada valor, você faria iguais na prova sem calculadora usando frações simples):
Calcule 3^{x} primeiro e depois multiplique por \tfrac{1}{2}.
  • Para x=-2: 3^{-2}=\tfrac{1}{3^{2}}=\tfrac{1}{9}. Então
y=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{9}=\tfrac{1}{18}\approx 0,0556.
  • Para x=-1: 3^{-1}=\tfrac{1}{3}. Então
y=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}\approx 0,1667.
  • Para x=0: 3^{0}=1. Então
y=\tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{1}{2}=0,5.
  • Para x=1: 3^{1}=3. Então
y=\tfrac{1}{2}\cdot 3=\tfrac{3}{2}=1,5.
  • Para x=2: 3^{2}=9. Então
y=\tfrac{1}{2}\cdot 9=\tfrac{9}{2}=4{,}5.
Resumo (pontos que você deve marcar no plano):
\left(-2,\tfrac{1}{18}\right),\\ \left(-1,\tfrac{1}{6}\right),\\ \left(0,\tfrac{1}{2}\right),\\ \left(1,\tfrac{3}{2}\right),\\ \left(2,\tfrac{9}{2}\right).

Passo 6

Como traçar a curva a partir desses pontos (passo a passo prático):
  • Desenhe os eixos x e y. Marque uma linha horizontal tracejada em y=0 (assíntota).
  • Marque o ponto \left(0,\tfrac{1}{2}\right) no eixo y. Isso já te dá a altura inicial.
  • Marque também \left(1,\tfrac{3}{2}\right) e \left(2,\tfrac{9}{2}\right) para ver a rapidez do crescimento à direita.
  • Para a esquerda, marque \left(-1,\tfrac{1}{6}\right) e \left(-2,\tfrac{1}{18}\right) para ver a aproximação a zero.
  • Ligue os pontos com uma curva suave que passe por eles, ficando cada vez mais próxima de y=0 quando x é muito negativo e subindo aceleradamente quando x aumenta. Não faça segmentos de reta — a curva é contínua e suave.

Passo 7

Observações finais e dicas de prova (mini-resumo motivador):
  • Você só precisa de poucos pontos bem escolhidos e de saber a assíntota e o intercepto para esboçar o gráfico corretamente.
  • Lembre-se: multiplicar por \tfrac{1}{2} não muda o formato, apenas “aperta” a curva na vertical; a posição do eixo y onde cruza (no x=0) fica em y=\tfrac{1}{2}.
  • Se o professor pedir uma comparação com y=3^{x}, mostre que todo y de 3^{x} foi dividido por 2, então os pontos correspondentes ficam pela metade em y.

Resposta

Gráfico: curva crescente com assíntota y=0, intercepto em \left(0,\tfrac{1}{2}\right), e passa por \left(-2,\tfrac{1}{18}\right),\\ \left(-1,\tfrac{1}{6}\right),\\ \left(1,\tfrac{3}{2}\right),\\ \left(2,\tfrac{9}{2}\right).

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