Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
y=2^{x}+2^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico cartesiano da função exponencial
y=2^{x}+2^{-x}.
Informações dadas (explicitamente): a fórmula da função. Pergunta implícita: qual é a forma do gráfico (domínio, imagem, simetrias, pontos importantes, monotonia, concavidade e comportamento nas extremidades) — ou seja, devemos desenhar e descrever o gráfico detalhadamente.

Passo 2

Domínio. Toda função da forma 2^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Como y é soma de duas funções 2^{x} e 2^{-x}, o domínio é
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í
Explicação curta: não há divisão por zero nem log de número negativo — exponencial está sempre definida.

Passo 3

Mostrando que a função é par (simetria em relação ao eixo y). Substitua x por -x:
y(-x)=2^{-x}+2^{x}=2^{x}+2^{-x}=y(x).
Conclusão: y(x)=y(-x), logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Na prática isso significa que basta determinar o ramo para x\ge 0 e refletir para x\le 0.

Passo 4

Derivada: para estudar monotonia precisamos da derivada. Lembrete (fórmula): a derivada de a^{x} em relação a x é a^{x}\ln a, onde \ln a é o logaritmo natural de a. Aplicando a isso,
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\big(2^{x}+2^{-x}\big)=2^{x}\ln 2 + 2^{-x}\ln 2\cdot(-1).
Organizando,
\frac{dy}{dx}=\ln 2\,(2^{x}-2^{-x}).
Explicação: o termo 2^{-x} produz um fator -\ln 2 por conta da regra da cadeia (derivada de -x é -1).

Passo 5

Pontos críticos e monotonicidade. Zere a derivada para achar possíveis extremos:
\frac{dy}{dx}=0 \iff \ln 2\,(2^{x}-2^{-x})=0.
Como \ln 2\neq 0, isso equivale a
2^{x}-2^{-x}=0 \iff 2^{x}=2^{-x}.
Isto dá 2^{2x}=1, logo 2x=0 e portanto x=0. Conclusão: há um único ponto crítico em x=0.
Para saber se é mínimo ou máximo, observe o sinal de \frac{dy}{dx}:
  • Se x>0, então 2^{x}>2^{-x} e \frac{dy}{dx}>0 (função crescente).
  • Se x<0, então 2^{x}<2^{-x} e \frac{dy}{dx}<0 (função decrescente).
Portanto a função decresce até x=0 e cresce a partir de x=0. Como há mudança de decrescente para crescente, x=0 é mínimo local (e, por simetria e unicidade, é mínimo global).

Passo 6

Valor no mínimo. Calcule y(0):
y(0)=2^{0}+2^{0}=1+1=2.
Logo o ponto mínimo é (0,2).

Passo 7

Segunda derivada e concavidade. Derivando novamente a expressão de \frac{dy}{dx}:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}\big(\ln 2\,(2^{x}-2^{-x})\big)=(\ln 2)^{2}(2^{x}+2^{-x}).
Observação: (\ln 2)^{2}>0 e 2^{x}+2^{-x}>0 para todo x, logo \frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0 para todo x. Conclusão: a função é estritamente convexa (curvatura para cima) em toda a reta, o que confirma que o ponto em x=0 é mínimo global.

Passo 8

Comportamento nas extremidades (assíntotas/infinitos). Veja limites:
  • Quando x\to+\infty, o termo dominante é 2^{x} e 2^{-x}\to 0. Então
\lim_{x\to+\infty}y=+\infty.
  • Quando x\to-\infty, o termo dominante é 2^{-x}=2^{|x|}, que também tende a +\infty. Então
\lim_{x\to-\infty}y=+\infty.
Portanto não há assíntotas horizontais finitas; a função cresce muito para ambos os lados (por causa da simetria).

Passo 9

Imagem (contraste com domínio). Como a função é contínua, atinge seu mínimo 2 em x=0 e tende a +\infty nas duas extremidades, a imagem é
\text{Imagem}=[2,+\infty).

Passo 10

Pontos auxiliares para desenhar. Calcule alguns pontos fáceis para esboçar o gráfico:
\begin{aligned} y(0)&=2,\\\ y(1)&=2^{1}+2^{-1}=2+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}=2{,}5,\\\ y(2)&=2^{2}+2^{-2}=4+\tfrac{1}{4}=4{,}25,\\\ y(-1)&=y(1)=2{,}5\quad\text{(pela simetria)},\\\ y(-2)&=y(2)=4{,}25. \end{aligned}
Também é útil notar valores entre 0 e 1, por exemplo
y\big(\tfrac{1}{2}\big)=2^{1/2}+2^{-1/2}=\sqrt{2}+\tfrac{1}{\sqrt{2}}=\tfrac{3}{\sqrt{2}}\approx2{,}1213.
Esses pontos mostram o crescimento suave perto de 0 e o crescimento rápido para |x| grandes.

Passo 11

Como desenhar o gráfico (instrução prática para a prova). Passos práticos:
  1. Marque o ponto mínimo (0,2).
  2. Use simetria: para cada ponto positivo x>0 trace o correspondente em -x com mesma ordenada.
  3. Marque os pontos (1,2{,}5), (2,4{,}25) e seus simétricos; marque (\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{\sqrt{2}}) se quiser mais precisão perto de 0.
  4. Ligue os pontos com uma curva suave, convexa para cima, decrescente até (0,2) e crescente depois; a curva sobe muito rápido para |x| grandes.
  5. Não há interseção com o eixo x (y nunca é zero) e não há assíntotas horizontais finitas.
Dica intuitiva: a função parece um “U” simétrico com um mínimo localizado em (0,2), mas é bem mais “afunilada” para fora do que uma parábola — cresce exponencialmente.

Passo 12

Generalização curta (útil na prova). Para qualquer base a>1, a função
y=a^{x}+a^{-x}
é par, tem mínimo em x=0 de valor 2, é convexa e satisfaz as mesmas propriedades qualitativas (imagem [2,+\infty)). No nosso caso a=2.

Resposta

Função com domínio \mathbb{R} e imagem [2,+\infty). É par (simétrica em relação ao eixo y). Tem único mínimo global em (0,2). É decrescente para x<0 e crescente para x>0. Segunda derivada positiva para todo x (função convexa). Pontos de referência: (0,2), (1,2{,}5), (2,4{,}25) e seus simétricos negativos. Para x\to\pm\infty, y\to+\infty.

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