Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico cartesiano da função exponencial
Informações dadas (explicitamente): a fórmula da função. Pergunta implícita: qual é a forma do gráfico (domínio, imagem, simetrias, pontos importantes, monotonia, concavidade e comportamento nas extremidades) — ou seja, devemos desenhar e descrever o gráfico detalhadamente.
Passo 2
Domínio. Toda função da forma
está definida para todo
. Como
é soma de duas funções
e
, o domínio é
Explicação curta: não há divisão por zero nem log de número negativo — exponencial está sempre definida.
Passo 3
Mostrando que a função é par (simetria em relação ao eixo
). Substitua
por
:
Conclusão:
, logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo
. Na prática isso significa que basta determinar o ramo para
e refletir para
.
Passo 4
Derivada: para estudar monotonia precisamos da derivada. Lembrete (fórmula): a derivada de
em relação a
é
, onde
é o logaritmo natural de
. Aplicando a isso,
Organizando,
Explicação: o termo
produz um fator
por conta da regra da cadeia (derivada de
é
).
Passo 5
Pontos críticos e monotonicidade. Zere a derivada para achar possíveis extremos:
Como
, isso equivale a
Isto dá
, logo
e portanto
. Conclusão: há um único ponto crítico em
.
Para saber se é mínimo ou máximo, observe o sinal de
:
- Se
, então e (função crescente). - Se
, então e (função decrescente).
Portanto a função decresce até
e cresce a partir de
. Como há mudança de decrescente para crescente,
é mínimo local (e, por simetria e unicidade, é mínimo global).
Passo 6
Valor no mínimo. Calcule
:
Logo o ponto mínimo é
.
Passo 7
Segunda derivada e concavidade. Derivando novamente a expressão de
:
Observação:
e
para todo
, logo
para todo
. Conclusão: a função é estritamente convexa (curvatura para cima) em toda a reta, o que confirma que o ponto em
é mínimo global.
Passo 8
Comportamento nas extremidades (assíntotas/infinitos). Veja limites:
- Quando
, o termo dominante é e . Então
- Quando
, o termo dominante é , que também tende a . Então
Portanto não há assíntotas horizontais finitas; a função cresce muito para ambos os lados (por causa da simetria).
Passo 9
Imagem (contraste com domínio). Como a função é contínua, atinge seu mínimo
em
e tende a
nas duas extremidades, a imagem é
Passo 10
Pontos auxiliares para desenhar. Calcule alguns pontos fáceis para esboçar o gráfico:
Também é útil notar valores entre
e
, por exemplo
Esses pontos mostram o crescimento suave perto de
e o crescimento rápido para
grandes.
Passo 11
Como desenhar o gráfico (instrução prática para a prova). Passos práticos:
- Marque o ponto mínimo
. - Use simetria: para cada ponto positivo
trace o correspondente em com mesma ordenada. - Marque os pontos
, e seus simétricos; marque se quiser mais precisão perto de . - Ligue os pontos com uma curva suave, convexa para cima, decrescente até
e crescente depois; a curva sobe muito rápido para grandes. - Não há interseção com o eixo
(y nunca é zero) e não há assíntotas horizontais finitas.
Dica intuitiva: a função parece um “U” simétrico com um mínimo localizado em
, mas é bem mais “afunilada” para fora do que uma parábola — cresce exponencialmente.
Passo 12
Generalização curta (útil na prova). Para qualquer base
, a função
é par, tem mínimo em
de valor
, é convexa e satisfaz as mesmas propriedades qualitativas (imagem
). No nosso caso
.
Resposta
Função com domínio
e imagem
. É par (simétrica em relação ao eixo
). Tem único mínimo global em
. É decrescente para
e crescente para
. Segunda derivada positiva para todo
(função convexa). Pontos de referência:
,
,
e seus simétricos negativos. Para
,
.