Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
y=\left(\frac{1}{e}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede: construir o gráfico cartesiano da função \,y=\left(\frac{1}{e}\right)^{x}\,.\n
Informações fornecidas no enunciado e observações imediatas que podemos extrair sem calcular nada ainda:\n
  • A função é dada por \,y=\left(\frac{1}{e}\right)^{x}\,.\n
  • A constante e é a base dos logaritmos naturais e vale aproximadamente \,e\approx 2,718\,. \n
  • A base \,\frac{1}{e}\, é um número positivo menor que 1 (já que e>1).\n
  • A tarefa é desenhar (esboçar) o gráfico no plano cartesiano, isto é, indicar forma geral da curva, assíntotas, interceptos e alguns pontos para guiar o traço.

Passo 2

Fazer uma simplificação útil da expressão para entender melhor a forma da curva.\n
Usamos a regra de potências \,\left(a^{-1}\right)^{x}=a^{-x}\,. Aplicando com a=e obtemos:
y=\left(\frac{1}{e}\right)^{x}=e^{-x}.
Isso é importante porque trabalhar com e^{-x} é mais intuitivo: é uma exponencial com base e e expoente -x.

Passo 3

Determinar o domínio da função (valores de x que podemos usar) e comentar qualitativamente a imagem (valores possíveis de y).\n
  • Exponenciais estão definidas para todo número real, logo o domínio é \,(-\infty,\infty)\,.\n
  • Uma potência de uma base positiva nunca é zero nem negativa; portanto y>0 para todo x. Logo a imagem (contraparte de “range”) é \,(0,\infty)\,.\n
    Explicando de forma bem direta: independente do x que eu coloque, e^{-x} é sempre um número positivo.

Passo 4

Achar interceptos com os eixos (pontos onde a curva cruza os eixos). Isso dá pontos-chave para esboçar o gráfico.\n
  • Intercepto com o eixo y: tomar x=0.
y(0)=\left(\frac{1}{e}\right)^{0}=1.
Portanto a curva passa por (0,1).\n
  • Intercepto com o eixo x: procurar y=0. Mas como vimos em

Passo 5

Comportamento quando x cresce ou decresce — isto é, a monotonicidade da função. Vou provar que a função é estritamente decrescente e explicar o raciocínio de forma simples.\n
Considere x_1<x_2. Multiplicando ambos os lados por -1 inverte-se a desigualdade, então -x_1>-x_2. Como a função t\mapsto e^{t} é estritamente crescente (para e fixo), obtemos
e^{-x_1}>e^{-x_2}.
Isto mostra que, se x_1<x_2 então y(x_1)>y(x_2), ou seja, y=e^{-x} decresce quando x aumenta.\n
Intuição sem formalidade: a base \frac{1}{e} é menor que 1, então potências com expoente maior dão números menores — por isso a curva desce da esquerda para a direita.

Passo 6

Assíntotas e limites extremos — importantíssimo para o esboço: o que acontece quando x\to\infty e x\to-\infty.\n
  • Quando x\to\infty, o expoente -x\to -\infty, e e^{-x} tende a 0. Em notação:
\lim_{x\to\infty} e^{-x}=0.
Isso significa que a curva se aproxima da reta horizontal y=0 — portanto y=0 é uma assíntota horizontal pela direita.\n
  • Quando x\to -\infty, temos -x\to +\infty e
\lim_{x\to -\infty} e^{-x}=+\infty.
Ou seja, a curva cresce sem limite quando vamos muito para a esquerda.\n
Resumo visual: à direita a curva se aproxima de y=0 (sem tocar), à esquerda sobe muito.

Passo 7

Calcular alguns pontos numéricos para guiar o desenho. Vou escolher pontos simétricos simples: x=-2,-1,0,1,2.\n
  • Para x=0: já fizemos \,y=1\, (ponto (0,1)).\n
  • Para x=1:
y(1)=\left(\frac{1}{e}\right)^{1}=\frac{1}{e}\approx 0,368.
Note que usei e\approx 2,718, então 1/e\approx 0,3679, arredondei para 0,368.\n
  • Para x=2:
y(2)=\left(\frac{1}{e}\right)^{2}=\frac{1}{e^{2}}\approx 0,135.
Porque e^{2}\approx 7,389, então 1/e^{2}\approx 0,1353.\n
  • Para x=-1:
y(-1)=\left(\frac{1}{e}\right)^{-1}=e\approx 2,718.
Logo ponto (-1,e).\n
  • Para x=-2:
y(-2)=\left(\frac{1}{e}\right)^{-2}=e^{2}\approx 7,389.
Esses pontos formam uma boa “espinha dorsal” para traçar a curva: (-2,e^{2}), (-1,e), (0,1), (1,1/e), (2,1/e^{2}).

Passo 8

Instruções práticas para desenhar o esboço no papel (passo-a-passo de como eu faria na prova, sem calculadora pesada):\n
  1. Marque o eixo x e o eixo y e desenhe a reta horizontal y=0 como guia (assíntota).\n
  2. Marque o ponto (0,1) — é o intercepto com o eixo y.\n
  3. Marque os pontos aproximados que calculamos: (1,0,368), (2,0,135) à direita; (-1,2,718), (-2,7,389) à esquerda. Não precisa calcular muito fino, apenas posicionar aproximadamente.\n
  4. Una esses pontos por uma curva suave que: a) passa por eles, b) é estritamente decrescente, c) se aproxima de y=0 quando x vai para +\infty, d) cresce sem limite quando x vai para -\infty.\n
  5. Não tente forçar interseção com o eixo x — a curva nunca toca y=0.\n
  6. Para agilizar o desenho na prova, lembre que o gráfico de y=e^{-x} é o espelho (reflexão) do gráfico de y=e^{x} em relação ao eixo y. Se você lembrar como é e^{x}, basta refletir na vertical para obter e^{-x}.

Passo 9

Comparação útil para memorização e “atalho” em prova: relação com y=e^{x}.\n
  • A função \,y=e^{-x}\, é a mesma que \,y=e^{x}\, refletida em torno do eixo y. Ou seja, quando você conhece o formato de e^{x} (cresce para a direita, assíntota y=0 à esquerda), basta refletir no eixo y para ter e^{-x} (decresce para a direita, assíntota y=0 à direita).\n
    Isso facilita desenhar rápido e sem contas.

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty)
Imagem: (0,\infty)
Assíntota horizontal: y=0 (quando x\to\infty)
Comportamento: função estritamente decrescente (pois \left(\tfrac{1}{e}\right)^{x}=e^{-x})
Intercepto com y: (0,1) — não há intercepto com x
Pontos úteis: (-2,e^{2}), (-1,e), (0,1), (1,1/e), (2,1/e^{2})

Exercícios relacionados