Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede: construir o gráfico cartesiano da função
.\n
Informações fornecidas no enunciado e observações imediatas que podemos extrair sem calcular nada ainda:\n
Informações fornecidas no enunciado e observações imediatas que podemos extrair sem calcular nada ainda:\n
- A função é dada por
.\n - A constante
é a base dos logaritmos naturais e vale aproximadamente . \n - A base
é um número positivo menor que (já que ).\n - A tarefa é desenhar (esboçar) o gráfico no plano cartesiano, isto é, indicar forma geral da curva, assíntotas, interceptos e alguns pontos para guiar o traço.
Passo 2
Fazer uma simplificação útil da expressão para entender melhor a forma da curva.\n
Usamos a regra de potências . Aplicando com
obtemos:
Usamos a regra de potências
Isso é importante porque trabalhar com
é mais intuitivo: é uma exponencial com base
e expoente
.
Passo 3
Determinar o domínio da função (valores de
que podemos usar) e comentar qualitativamente a imagem (valores possíveis de
).\n
- Exponenciais estão definidas para todo número real, logo o domínio é
.\n - Uma potência de uma base positiva nunca é zero nem negativa; portanto
para todo . Logo a imagem (contraparte de “range”) é .\n
Explicando de forma bem direta: independente doque eu coloque, é sempre um número positivo.
Passo 4
Achar interceptos com os eixos (pontos onde a curva cruza os eixos). Isso dá pontos-chave para esboçar o gráfico.\n
- Intercepto com o eixo
: tomar .
Portanto a curva passa por
.\n
- Intercepto com o eixo
: procurar . Mas como vimos em
Passo 5
Comportamento quando
cresce ou decresce — isto é, a monotonicidade da função. Vou provar que a função é estritamente decrescente e explicar o raciocínio de forma simples.\n
Considere . Multiplicando ambos os lados por
inverte-se a desigualdade, então
. Como a função
é estritamente crescente (para
fixo), obtemos
Considere
Isto mostra que, se
então
, ou seja,
decresce quando
aumenta.\n
Intuição sem formalidade: a base é menor que
, então potências com expoente maior dão números menores — por isso a curva desce da esquerda para a direita.
Intuição sem formalidade: a base
Passo 6
Assíntotas e limites extremos — importantíssimo para o esboço: o que acontece quando
e
.\n
- Quando
, o expoente , e tende a . Em notação:
Isso significa que a curva se aproxima da reta horizontal
— portanto
é uma assíntota horizontal pela direita.\n
- Quando
, temos e
Ou seja, a curva cresce sem limite quando vamos muito para a esquerda.\n
Resumo visual: à direita a curva se aproxima de (sem tocar), à esquerda sobe muito.
Resumo visual: à direita a curva se aproxima de
Passo 7
Calcular alguns pontos numéricos para guiar o desenho. Vou escolher pontos simétricos simples:
.\n
- Para
: já fizemos (ponto ).\n - Para
:
Note que usei
, então
, arredondei para
.\n
- Para
:
Porque
, então
.\n
- Para
:
Logo ponto
.\n
- Para
:
Esses pontos formam uma boa “espinha dorsal” para traçar a curva:
,
,
,
,
.
Passo 8
Instruções práticas para desenhar o esboço no papel (passo-a-passo de como eu faria na prova, sem calculadora pesada):\n
- Marque o eixo
e o eixo e desenhe a reta horizontal como guia (assíntota).\n - Marque o ponto
— é o intercepto com o eixo .\n - Marque os pontos aproximados que calculamos:
, à direita; , à esquerda. Não precisa calcular muito fino, apenas posicionar aproximadamente.\n - Una esses pontos por uma curva suave que: a) passa por eles, b) é estritamente decrescente, c) se aproxima de
quando vai para , d) cresce sem limite quando vai para .\n - Não tente forçar interseção com o eixo
— a curva nunca toca .\n - Para agilizar o desenho na prova, lembre que o gráfico de
é o espelho (reflexão) do gráfico de em relação ao eixo . Se você lembrar como é , basta refletir na vertical para obter .
Passo 9
Comparação útil para memorização e “atalho” em prova: relação com
.\n
- A função
é a mesma que refletida em torno do eixo . Ou seja, quando você conhece o formato de (cresce para a direita, assíntota à esquerda), basta refletir no eixo para ter (decresce para a direita, assíntota à direita).\n
Isso facilita desenhar rápido e sem contas.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Assíntota horizontal: (quando
)
Comportamento: função estritamente decrescente (pois )
Intercepto com :
— não há intercepto com
Pontos úteis: ,
,
,
,
Imagem:
Assíntota horizontal:
Comportamento: função estritamente decrescente (pois
Intercepto com
Pontos úteis: