Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
y=2^{2 x-1}

Passo 1

O enunciado pede que eu construa o gráfico cartesiano da função exponencial y=2^{2x-1}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é y=2^{2x-1}.
  • Preciso representar (esboçar) o comportamento da função no plano xy: domínio, imagem (intervalo de valores), assíntota, interceptos, pontos-chave e forma da curva para desenhar corretamente.

Passo 2

Vamos manipular a expressão para entendê-la melhor. Uso propriedades de potências: \;a^{u+v}=a^{u}a^{v}\; e \;a^{k x}=(a^k)^x\;. Aplicando isso em y=2^{2x-1}:
y=2^{2x-1}=2^{2x}\cdot 2^{-1}=\frac{1}{2}\cdot 2^{2x}
e também
y=2^{2x-1}=2^{2(x-\tfrac{1}{2})}.
Outra forma útil é usar \;2^{2x}=(2^2)^x=4^x\;, então
y=\frac{1}{2}\cdot 4^x.
Essas formas diferentes nos ajudam a interpretar a função como:
  • uma função do tipo 4^x multiplicada por \tfrac{1}{2} (ou seja, uma escala vertical por \tfrac{1}{2}); ou
  • a função 2^{2x} deslocada horizontalmente (ver mais adiante).

Passo 3

Determinar domínio, imagem e assíntota horizontal (conceitos essenciais):
  • Domínio: funções exponenciais a^{(\cdot)} estão definidas para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio é \mathbb{R}.
  • Imagem (valor de y): para base >0 e diferente de 1, a exponencial nunca é zero e assume apenas valores positivos. Portanto a imagem é (0,+\infty).
  • Assíntota horizontal: como x\to -\infty temos 4^x\to 0, então y=\tfrac{1}{2}\cdot 4^x\to 0. Assim a assíntota horizontal é y=0.

Passo 4

Interceptos e pontos especiais (isso ajuda muito no esboço):
  • Interseção com o eixo y (ou seja, y quando x=0): y(0)=2^{2\cdot 0-1}=2^{-1}=\tfrac{1}{2}.Então o ponto (0,\tfrac{1}{2}) é o corte com o eixo y.
  • Interseção com o eixo x (resolver 2^{2x-1}=0). Isso nunca ocorre porque exponenciais positivas não nullas. Logo não há intercepto com o eixo x.
  • Ponto onde y=1: resolve 2^{2x-1}=1\Rightarrow expoente igual a 0: 2x-1=0 \Rightarrow x=\tfrac{1}{2}.Logo o ponto (\tfrac{1}{2},1) pertence à curva. Esse é um ponto muito útil para posicionar a curva.
  • Observação a partir da forma y=2^{2(x-\tfrac{1}{2})}: isso mostra que a curva de 2^{2x} foi deslocada para a direita em \tfrac{1}{2} unidade (porque substituímos x por x-\tfrac{1}{2}), ou equivalentemente que y=\tfrac{1}{2}4^x é uma versão verticalmente comprimida de 4^x.

Passo 5

Comportamento de crescimento e “inclinação” da curva (explicação didática):
  • A base efetiva para o comportamento é 4=2^2>1. Quando a base da exponencial é maior que 1, a função é crescente: quando x aumenta, y aumenta.
  • O coeficiente 2 no expoente (em 2x) acelera o crescimento: comparado com 2^x, a função 2^{2x}=4^x cresce mais rápido; portanto a curva sobe mais rapidamente à direita. A multiplicação por \tfrac{1}{2} só “abaixa” todos os y pela metade, não altera o fato de ser crescente.
  • Conclusão: y=2^{2x-1} é crescente em todo \mathbb{R}.

Passo 6

Cálculo de pontos adicionais para esboçar com precisão (faça uma pequena tabela e marque esses pontos no papel):
Calculo passo a passo para alguns x convenientes:
  • Para x=-1: y(-1)=2^{2(-1)-1}=2^{-3}=\tfrac{1}{8}=0{,}125.
  • Para x=0: já calculado, y(0)=\tfrac{1}{2}=0{,}5.
  • Para x=\tfrac{1}{2}: já calculado, y\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=1.
  • Para x=1: y(1)=2^{2\cdot 1-1}=2^{1}=2.
  • Para x=2: y(2)=2^{4-1}=2^{3}=8.
Use esses pontos ao desenhar: ( -1,\,\tfrac{1}{8}),\\ (0,\,\tfrac{1}{2}),\\ (\tfrac{1}{2},\,1),\\ (1,\,2),\\ (2,\,8).

Passo 7

Como desenhar o gráfico passo a passo (instruções práticas para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y e trace a linha horizontal y=0 como assíntota (esboce-a pontilhada).
  2. Marque os pontos calculados do Passo 6 no plano com as coordenadas exatas. Não esqueça (\tfrac{1}{2},1) e (0,\tfrac{1}{2}).
  3. A partir da esquerda ( x\to -\infty) a curva se aproxima de y=0 por cima (nunca toca). Ao mover-se para a direita, a curva sobe, passando por (\tfrac{1}{2},1), e aumentando rapidamente depois disso.
  4. Faça uma curva suave que passe pelos pontos marcados, respeitando a assíntota e o comportamento de crescimento rápido para x grandes. Evite cantos: exponenciais são curvas suaves sem quinas.
  5. Se quiser, comece desenhando o gráfico de 4^x e então comprima verticalmente os y pela metade (multiplique todas as ordens por \tfrac{1}{2}) para obter y=\tfrac{1}{2}4^x.

Passo 8

Resumo final das características que você deve anotar no caderno/na prova antes de esboçar (para não esquecer nada na hora):
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Imagem: (0,+\infty).
  • Assíntota horizontal: y=0.
  • Crescimento: função crescente em todo \mathbb{R}.
  • Intercepto com y: (0,\tfrac{1}{2}).
  • Ponto importante: (\tfrac{1}{2},1).
  • Pontos para esboço: \bigl(-1,\tfrac{1}{8}\bigr),\\ (0,\tfrac{1}{2}),\\ (\tfrac{1}{2},1),\\ (1,2),\\ (2,8).
  • Observações de transformação: y=2^{2x-1}=\tfrac{1}{2}\cdot 4^x (escala vertical por \tfrac{1}{2}) e também y=2^{2(x-\tfrac{1}{2})} (a forma mostra deslocamento em x quando comparada com 2^{2x}).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: (0,+\infty)
Assíntota: y=0
Intercepto y: (0,\tfrac{1}{2})
Ponto onde y=1: (\tfrac{1}{2},1)
Pontos para esboço: \bigl(-1,\tfrac{1}{8}\bigr),\\ (0,\tfrac{1}{2}),\\ (\tfrac{1}{2},1),\\ (1,2),\\ (2,8)
Comportamento: função crescente, cresce rapidamente para x\to+\infty e tende a 0 quando x\to-\infty.

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