Exercício 0.2 Construa os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede que eu construa o gráfico cartesiano da função exponencial
.
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é
. - Preciso representar (esboçar) o comportamento da função no plano
: domínio, imagem (intervalo de valores), assíntota, interceptos, pontos-chave e forma da curva para desenhar corretamente.
Passo 2
Vamos manipular a expressão para entendê-la melhor. Uso propriedades de potências:
e
. Aplicando isso em
:
e também
Outra forma útil é usar
, então
Essas formas diferentes nos ajudam a interpretar a função como:
- uma função do tipo
multiplicada por (ou seja, uma escala vertical por ); ou - a função
deslocada horizontalmente (ver mais adiante).
Passo 3
Determinar domínio, imagem e assíntota horizontal (conceitos essenciais):
- Domínio: funções exponenciais
estão definidas para todo . Logo o domínio é . - Imagem (valor de
): para base e diferente de , a exponencial nunca é zero e assume apenas valores positivos. Portanto a imagem é . - Assíntota horizontal: como
temos , então . Assim a assíntota horizontal é .
Passo 4
Interceptos e pontos especiais (isso ajuda muito no esboço):
- Interseção com o eixo
(ou seja, quando ): Então o ponto é o corte com o eixo . - Interseção com o eixo
(resolver ). Isso nunca ocorre porque exponenciais positivas não nullas. Logo não há intercepto com o eixo . - Ponto onde
: resolve expoente igual a : Logo o ponto pertence à curva. Esse é um ponto muito útil para posicionar a curva. - Observação a partir da forma
: isso mostra que a curva de foi deslocada para a direita em unidade (porque substituímos por ), ou equivalentemente que é uma versão verticalmente comprimida de .
Passo 5
Comportamento de crescimento e “inclinação” da curva (explicação didática):
- A base efetiva para o comportamento é
. Quando a base da exponencial é maior que , a função é crescente: quando aumenta, aumenta. - O coeficiente
no expoente (em ) acelera o crescimento: comparado com , a função cresce mais rápido; portanto a curva sobe mais rapidamente à direita. A multiplicação por só “abaixa” todos os pela metade, não altera o fato de ser crescente. - Conclusão:
é crescente em todo .
Passo 6
Cálculo de pontos adicionais para esboçar com precisão (faça uma pequena tabela e marque esses pontos no papel):
Calculo passo a passo para alguns convenientes:
Calculo passo a passo para alguns
- Para
: - Para
: já calculado, - Para
: já calculado, - Para
: - Para
:
Use esses pontos ao desenhar:
.
Passo 7
Como desenhar o gráfico passo a passo (instruções práticas para a prova):
- Desenhe os eixos
e e trace a linha horizontal como assíntota (esboce-a pontilhada). - Marque os pontos calculados do Passo 6 no plano com as coordenadas exatas. Não esqueça
e . - A partir da esquerda (
) a curva se aproxima de por cima (nunca toca). Ao mover-se para a direita, a curva sobe, passando por , e aumentando rapidamente depois disso. - Faça uma curva suave que passe pelos pontos marcados, respeitando a assíntota e o comportamento de crescimento rápido para
grandes. Evite cantos: exponenciais são curvas suaves sem quinas. - Se quiser, comece desenhando o gráfico de
e então comprima verticalmente os pela metade (multiplique todas as ordens por ) para obter .
Passo 8
Resumo final das características que você deve anotar no caderno/na prova antes de esboçar (para não esquecer nada na hora):
- Domínio:
. - Imagem:
. - Assíntota horizontal:
. - Crescimento: função crescente em todo
. - Intercepto com
: . - Ponto importante:
. - Pontos para esboço:
. - Observações de transformação:
(escala vertical por ) e também (a forma mostra deslocamento em quando comparada com ).
Resposta
Domínio:
Imagem:
Assíntota:
Intercepto :
Ponto onde :
Pontos para esboço:
Comportamento: função crescente, cresce rapidamente para e tende a
quando
.
Imagem:
Assíntota:
Intercepto
Ponto onde
Pontos para esboço:
Comportamento: função crescente, cresce rapidamente para