Exercício 2.7 Esboçe as seguintes superfícies no espaço
.
;
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a superfície no espaço
dada por
.
Informações fornecidas (o que temos explicitamente):
Informações fornecidas (o que temos explicitamente):
- A superfície é o gráfico da função
dada por
- Não há dependência explícita de
na fórmula.
O que o enunciado quer: um esboço geométrico (forma, comportamento, traços e características principais) da superfícieem .
Passo 2
Domínio e imagem (intervalos possíveis de
):
- Domínio: todos os pares
em . Escreve-se . - Imagem (valores possíveis de
): como para todo , a imagem é .
Em notação:
Passo 3
Comportamento em
e intercepto:
- Quando
, (a superfície sobe indefinidamente na direção positiva de ). - Quando
, (a superfície se aproxima da reta-placa , sem tocá-la). - Interseção com a reta em
: para temos . Assim, a superfície passa por todos os pontos (para todo ).
Passo 4
Traços (seções) importantes que ajudam a desenhar:
- Traços em planos paralelos ao plano
(fixando ): para qualquer ,
Ou seja, cortando por
constante obtém-se exatamente a curva exponencial no plano
.
- Traços em planos
(fixando ): para qualquer ,
ou seja, uma linha horizontal paralela ao eixo
localizada na altura
.
- Traços de nível (contour lines) na projeção no plano
: para uma altura fixa tem-se
que é uma reta vertical no plano
(independente de
). Portanto, curvas de nível são retas verticais.
Passo 5
Derivadas parciais e inclinações (para entender a forma local):
- Cálculo das derivadas parciais:
Interpretação:
- A inclinação na direção
é positiva e cresce com (quanto maior , mais íngreme a subida). - Não há variação na direção
: a superfície é “plana” ao longo de retas paralelas ao eixo .
Exemplo de plano tangente no pontocom :
ou seja,
Isso mostra que localmente, ao variar
, não há inclinação; ao variar
a aproximação linear é dada por
.
Passo 6
Descrição geométrica global (o que desenhar):
- A superfície é obtida levando a curva exponencial
no plano e “arrastando” essa curva em todas as direções paralelas ao eixo . Em linguagem curta: é uma superfície cilíndrica (ou prismática) gerada pela curva com geratriz paralela ao eixo . - Há uma assíntota horizontal no plano
à medida que . - A superfície não tem pontos negativos de
e cresce muito rápido para positivos.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (instrução prática que você pode reproduzir na prova):
- Desenhe os três eixos:
(para a direita), (saindo para trás/para a esquerda, conforme perspectiva) e (para cima).\n - No plano
(plano ) desenhe a curva exponencial : pontos úteis , , , , .\n - Em alguns valores de
(por exemplo ) desenhe as linhas horizontais paralelas ao eixo na altura . Essas linhas mostram como a curva se estende em .\n - Una suavemente as linhas correspondentes para formar uma “fachada” contínua: a superfície terá a aparência de uma folha curvada que sobe exponencialmente para
e se aproxima de quando , sem jamais tocar , estendendo-se indefinidamente em ambas as direções de .\n - Acrescente setas para indicar que se estende em
e que sobe em para a direita.
Passo 8
Observações úteis e intuição final:
- Invariância em
: qualquer translação ao longo do eixo deixa a superfície inalterada (mesma curva para cada ). Isso é a chave para visualizar: pense numa curva no plano que foi “copiada” infinitas vezes ao longo do eixo . - A superfície não é fechada nem compacta; é infinita nas direções
e para (subindo para em e aproximando 0 em ). - Não há “buracos” nem pontos singulares: a função é suave (
) em todo .
Resposta
Superfície: gráfico de
.
Descrição curta: superfície cilíndrica gerada pela curva no plano
, traduzida ao longo do eixo
(invariante em
).
Domínio: .
Imagem: .
Assíntota: plano quando
.
Comportamento: cresce para quando
e é constante ao longo de
.
Descrição curta: superfície cilíndrica gerada pela curva
Domínio:
Imagem:
Assíntota: plano
Comportamento: cresce para