Exercício 2.7 Esboçe as seguintes superfícies no espaço \mathbb{R}^{3}.
f(x, y)=e^{x};

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a superfície no espaço \mathbb{R}^{3} dada por f(x,y)=e^{x}.
Informações fornecidas (o que temos explicitamente):
  • A superfície é o gráfico da função f dada por
z = e^{x}.
  • Não há dependência explícita de y na fórmula.
    O que o enunciado quer: um esboço geométrico (forma, comportamento, traços e características principais) da superfície z=e^{x} em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Domínio e imagem (intervalos possíveis de x,y,z):
  • Domínio: todos os pares (x,y) em \mathbb{R}^{2}. Escreve-se \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}^{2}.
  • Imagem (valores possíveis de z): como e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, a imagem é (0,\infty).
    Em notação:
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}^{2},\qquad \mathrm{Im}(f)=(0,\infty).

Passo 3

Comportamento em x\to\pm\infty e intercepto:
  • Quando x\to+\infty, e^{x}\to+\infty (a superfície sobe indefinidamente na direção positiva de x).
  • Quando x\to-\infty, e^{x}\to0^{+} (a superfície se aproxima da reta-placa z=0, sem tocá-la).
  • Interseção com a reta em x=0: para x=0 temos z=e^{0}=1. Assim, a superfície passa por todos os pontos (0,y,1) (para todo y\in\mathbb{R}).

Passo 4

Traços (seções) importantes que ajudam a desenhar:
  • Traços em planos paralelos ao plano xz (fixando y=y_{0}): para qualquer y_{0},
\text{curva em }(x,z)\text{: } z=e^{x}.
Ou seja, cortando por y= constante obtém-se exatamente a curva exponencial no plano xz.
  • Traços em planos x=x_{0} (fixando x): para qualquer x_{0},
\text{linha em }(y,z)\text{: } z=e^{x_{0}}\quad\text{(constante)},
ou seja, uma linha horizontal paralela ao eixo y localizada na altura z=e^{x_{0}}.
  • Traços de nível (contour lines) na projeção no plano xy: para uma altura fixa z=c>0 tem-se
e^{x}=c \Longrightarrow x=\ln c,
que é uma reta vertical no plano xy (independente de y). Portanto, curvas de nível são retas verticais.

Passo 5

Derivadas parciais e inclinações (para entender a forma local):
  • Cálculo das derivadas parciais:
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{x},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=0.
Interpretação:
  • A inclinação na direção x é positiva e cresce com x (quanto maior x, mais íngreme a subida).
  • Não há variação na direção y: a superfície é “plana” ao longo de retas paralelas ao eixo y.
    Exemplo de plano tangente no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) com z_{0}=e^{x_{0}}:
z \approx e^{x_{0}} + e^{x_{0}}(x-x_{0}) + 0\cdot(y-y_{0}),
ou seja,
z = e^{x_{0}}\bigl(1 + (x-x_{0})\bigr).
Isso mostra que localmente, ao variar y, não há inclinação; ao variar x a aproximação linear é dada por e^{x_{0}}.

Passo 6

Descrição geométrica global (o que desenhar):
  • A superfície é obtida levando a curva exponencial z=e^{x} no plano xz e “arrastando” essa curva em todas as direções paralelas ao eixo y. Em linguagem curta: é uma superfície cilíndrica (ou prismática) gerada pela curva z=e^{x} com geratriz paralela ao eixo y.
  • Há uma assíntota horizontal no plano z=0 à medida que x\to-\infty.
  • A superfície não tem pontos negativos de z e cresce muito rápido para x positivos.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (instrução prática que você pode reproduzir na prova):
  1. Desenhe os três eixos: x (para a direita), y (saindo para trás/para a esquerda, conforme perspectiva) e z (para cima).\n
  2. No plano y=0 (plano xz) desenhe a curva exponencial z=e^{x}: pontos úteis \,x=-2\Rightarrow z\approx0{,}135, \,x=-1\Rightarrow z\approx0{,}368, \,x=0\Rightarrow z=1, \,x=1\Rightarrow z\approx2{,}718, \,x=2\Rightarrow z\approx7{,}389.\n
  3. Em alguns valores de x (por exemplo x=-2,-1,0,1,2) desenhe as linhas horizontais paralelas ao eixo y na altura z=e^{x}. Essas linhas mostram como a curva se estende em y.\n
  4. Una suavemente as linhas correspondentes para formar uma “fachada” contínua: a superfície terá a aparência de uma folha curvada que sobe exponencialmente para x>0 e se aproxima de z=0 quando x\to-\infty, sem jamais tocar z=0, estendendo-se indefinidamente em ambas as direções de y.\n
  5. Acrescente setas para indicar que se estende em y e que sobe em x para a direita.

Passo 8

Observações úteis e intuição final:
  • Invariância em y: qualquer translação ao longo do eixo y deixa a superfície inalterada (mesma curva para cada y). Isso é a chave para visualizar: pense numa curva no plano xz que foi “copiada” infinitas vezes ao longo do eixo y.
  • A superfície não é fechada nem compacta; é infinita nas direções y e para x\to\pm\infty (subindo para +\infty em x\to+\infty e aproximando 0 em x\to-\infty).
  • Não há “buracos” nem pontos singulares: a função é suave ( C^\infty) em todo \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Superfície: gráfico de z=e^{x}.
Descrição curta: superfície cilíndrica gerada pela curva z=e^{x} no plano xz, traduzida ao longo do eixo y (invariante em y).
Domínio: \mathbb{R}^{2}.
Imagem: (0,\infty).
Assíntota: plano z=0 quando x\to-\infty.
Comportamento: cresce para +\infty quando x\to+\infty e é constante ao longo de y.

Exercícios relacionados