Exercício 6 (continuidade via fechados). Mostre que uma fução
é contínua se, e somente se,
é fechado sempre que
o for.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência lógica entre duas afirmações sobre uma função
:
-
é contínua (no sentido usual, em todo ). - Para todo conjunto fechado
vale que é fechado em .
Informações dadas: a função
é qualquer função de
em
. O objetivo é provar que (1) implica (2) e que (2) implica (1), ou seja,
é contínua se, e somente se, a pré-imagem de todo fechado for fechado.
Passo 2
Vamos fixar definições e propriedades básicas que usaremos (de forma amistosa, como se eu estivesse explicando no quadro ao seu lado).
Definições:
- Um conjunto
é aberto se, para todo , existe tal que o intervalo aberto está contido em . Vou denotar esse intervalo por . - Um conjunto
é fechado se o seu complemento em é aberto, isto é, é fechado quando é aberto. - Para uma função
e um conjunto , a pré-imagem é o conjunto .
Propriedade de pré-imagem que usaremos sem medo:
Vou provar essa identidade rapidamente, porque é útil e simples:
significa
, isto é,
. Isso equivale a dizer que
, ou seja,
. Assim os dois conjuntos são iguais.
Passo 3
Precisamos também da equivalência entre duas formas de falar que
é contínua:
Definição ponto a ponto (epsilon-delta):
é contínua em
se, para todo
existe
tal que
Dizemos
é contínua (no domínio inteiro) se é contínua em todo
.
Caracterização por pré-imagens de abertos:
é contínua em todo
se, e somente se, para todo conjunto aberto
o conjunto
é aberto em
.
Vou demonstrar essa equivalência porque vou usá-la depois.
Prova (=>) — Se
é contínua (epsilon-delta) então pré-imagem de aberto é aberto:
Seja aberto e tome
. Então
. Como
é aberto, existe
tal que
. Pela continuidade de
em
existe
tal que
implica
. Logo
. Isso mostra que todo ponto
tem um vizinho inteiro dentro de
, então
é aberto.
Seja
Prova (<=) — Se pré-imagem de todo aberto é aberto então
é contínua:
Seja e tome
. O intervalo aberto
é um aberto em
, logo
é aberto por hipótese. Como
, existe
tal que
. Isso significa exatamente que
. Como isso vale para todo
,
é contínua em
. Como
foi arbitrário,
é contínua em todo
.
Seja
Resumo: continuidade ponto a ponto (epsilon-delta) ⇔ pré-imagem de abertos é aberto. Guarde isso — é a ponte que nos permitirá trocar abertos por fechados usando complementos.
Passo 4
Provar a implicação (=>): Se
é contínua então
é fechado para todo fechado
.
Demonstração passo a passo:
- Tome um conjunto fechado
. Então é aberto (definição de fechado). - Pela equivalência do Passo 3, como
é contínua, a pré-imagem de qualquer aberto é aberto. Assim é aberto. - Use a identidade do Passo 2:
- Como
é aberto, seu complemento é aberto, então é fechado (pela definição de fechado).
Portanto, a pré-imagem de um fechado é fechada sempre queé contínua. Concluímos (=>).
Passo 5
Provar a implicação (<=): Se
é fechado sempre que
é fechado, então
é contínua.
Demonstração passo a passo:
- Para provar que
é contínua, pela equivalência do Passo 3 basta mostrar que a pré-imagem de qualquer aberto é aberto. - Tome um aberto arbitrário
. Então é fechado. - Pela hipótese,
é fechado. Mas então seu complemento é aberto:
onde, na última igualdade, usei novamente a propriedade de pré-imagem do Passo 2 (aplicada a
). Assim
é aberto.
- Como
foi um aberto arbitrário, a pré-imagem de qualquer aberto é aberta, logo por Passo 3 é contínua.
Isso prova a implicação (<=) e fecha a equivalência.
Passo 6
Exemplo curto para fixar a intuição (bem simples):
- Considere
. O conjunto é fechado em . A pré-imagem é
que é união de dois fechados, portanto fechado. Isso é coerente com
contínua. O exemplo ilustra a declaração geral: funções contínuas preservam (pela pré-imagem) a propriedade de ser fechado.