Exercício 6 (continuidade via fechados). Mostre que uma fução f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é contínua se, e somente se, f^{-1}(F) é fechado sempre que F o for.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência lógica entre duas afirmações sobre uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:
  1. f é contínua (no sentido usual, em todo \mathbb{R}).
  2. Para todo conjunto fechado F\subseteq\mathbb{R} vale que f^{-1}(F) é fechado em \mathbb{R}.
Informações dadas: a função f é qualquer função de \mathbb{R} em \mathbb{R}. O objetivo é provar que (1) implica (2) e que (2) implica (1), ou seja, f é contínua se, e somente se, a pré-imagem de todo fechado for fechado.

Passo 2

Vamos fixar definições e propriedades básicas que usaremos (de forma amistosa, como se eu estivesse explicando no quadro ao seu lado).
Definições:
  • Um conjunto U\subseteq\mathbb{R} é aberto se, para todo x\in U, existe \varepsilon>0 tal que o intervalo aberto \{y\in\mathbb{R}:|y-x|<\varepsilon\} está contido em U. Vou denotar esse intervalo por B_\varepsilon(x).
  • Um conjunto F\subseteq\mathbb{R} é fechado se o seu complemento em \mathbb{R} é aberto, isto é, F é fechado quando \mathbb{R}\setminus F é aberto.
  • Para uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e um conjunto A\subseteq\mathbb{R}, a pré-imagem f^{-1}(A) é o conjunto \{x\in\mathbb{R}:f(x)\in A\}.
Propriedade de pré-imagem que usaremos sem medo:
f^{-1}\big(\mathbb{R}\setminus A\big)=\mathbb{R}\setminus f^{-1}(A).
Vou provar essa identidade rapidamente, porque é útil e simples: x\in f^{-1}(\mathbb{R}\setminus A) significa f(x)\in\mathbb{R}\setminus A, isto é, f(x)\notin A. Isso equivale a dizer que x\notin f^{-1}(A), ou seja, x\in\mathbb{R}\setminus f^{-1}(A). Assim os dois conjuntos são iguais.

Passo 3

Precisamos também da equivalência entre duas formas de falar que f é contínua:
Definição ponto a ponto (epsilon-delta): f é contínua em x_0\in\mathbb{R} se, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
|x-x_0|<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
Dizemos f é contínua (no domínio inteiro) se é contínua em todo x_0\in\mathbb{R}.
Caracterização por pré-imagens de abertos: f é contínua em todo \mathbb{R} se, e somente se, para todo conjunto aberto U\subseteq\mathbb{R} o conjunto f^{-1}(U) é aberto em \mathbb{R}.
Vou demonstrar essa equivalência porque vou usá-la depois.
Prova (=>) — Se f é contínua (epsilon-delta) então pré-imagem de aberto é aberto:
Seja U\subseteq\mathbb{R} aberto e tome x_0\in f^{-1}(U). Então f(x_0)\in U. Como U é aberto, existe \varepsilon>0 tal que B_\varepsilon(f(x_0))\subseteq U. Pela continuidade de f em x_0 existe \delta>0 tal que x\in B_\delta(x_0) implica f(x)\in B_\varepsilon(f(x_0))\subseteq U. Logo B_\delta(x_0)\subseteq f^{-1}(U). Isso mostra que todo ponto x_0\in f^{-1}(U) tem um vizinho inteiro dentro de f^{-1}(U), então f^{-1}(U) é aberto.
Prova (<=) — Se pré-imagem de todo aberto é aberto então f é contínua:
Seja x_0\in\mathbb{R} e tome \varepsilon>0. O intervalo aberto B_\varepsilon(f(x_0)) é um aberto em \mathbb{R}, logo f^{-1}\big(B_\varepsilon(f(x_0))\big) é aberto por hipótese. Como x_0\in f^{-1}\big(B_\varepsilon(f(x_0))\big), existe \delta>0 tal que B_\delta(x_0)\subseteq f^{-1}\big(B_\varepsilon(f(x_0))\big). Isso significa exatamente que |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. Como isso vale para todo \varepsilon>0, f é contínua em x_0. Como x_0 foi arbitrário, f é contínua em todo \mathbb{R}.
Resumo: continuidade ponto a ponto (epsilon-delta) ⇔ pré-imagem de abertos é aberto. Guarde isso — é a ponte que nos permitirá trocar abertos por fechados usando complementos.

Passo 4

Provar a implicação (=>): Se f é contínua então f^{-1}(F) é fechado para todo fechado F.
Demonstração passo a passo:
  • Tome um conjunto fechado F\subseteq\mathbb{R}. Então \mathbb{R}\setminus F é aberto (definição de fechado).
  • Pela equivalência do Passo 3, como f é contínua, a pré-imagem de qualquer aberto é aberto. Assim f^{-1}\big(\mathbb{R}\setminus F\big) é aberto.
  • Use a identidade do Passo 2:
f^{-1}\big(\mathbb{R}\setminus F\big)=\mathbb{R}\setminus f^{-1}(F).
  • Como f^{-1}\big(\mathbb{R}\setminus F\big) é aberto, seu complemento \mathbb{R}\setminus f^{-1}(F) é aberto, então f^{-1}(F) é fechado (pela definição de fechado).
    Portanto, a pré-imagem de um fechado é fechada sempre que f é contínua. Concluímos (=>).

Passo 5

Provar a implicação (<=): Se f^{-1}(F) é fechado sempre que F é fechado, então f é contínua.
Demonstração passo a passo:
  • Para provar que f é contínua, pela equivalência do Passo 3 basta mostrar que a pré-imagem de qualquer aberto é aberto.
  • Tome um aberto arbitrário U\subseteq\mathbb{R}. Então F:=\mathbb{R}\setminus U é fechado.
  • Pela hipótese, f^{-1}(F) é fechado. Mas então seu complemento é aberto:
\mathbb{R}\setminus f^{-1}(F)=f^{-1}\big(\mathbb{R}\setminus F\big)=f^{-1}(U)
onde, na última igualdade, usei novamente a propriedade de pré-imagem do Passo 2 (aplicada a A=F). Assim f^{-1}(U) é aberto.
  • Como U foi um aberto arbitrário, a pré-imagem de qualquer aberto é aberta, logo por Passo 3 f é contínua.
Isso prova a implicação (<=) e fecha a equivalência.

Passo 6

Exemplo curto para fixar a intuição (bem simples):
  • Considere f(x)=x^2. O conjunto F=[1,4] é fechado em \mathbb{R}. A pré-imagem é
f^{-1}([1,4])=\{x: x^2\in[1,4]\}=[-2,-1]\cup[1,2],
que é união de dois fechados, portanto fechado. Isso é coerente com f contínua. O exemplo ilustra a declaração geral: funções contínuas preservam (pela pré-imagem) a propriedade de ser fechado.

Resposta

f é contínua se, e somente se, para todo conjunto fechado F\subseteq\mathbb{R} vale que f^{-1}(F) é fechado.

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