Exercício 4. Critério da Razão para Sequências
Seja \left(a_{n}\right) uma sequência de números reais. Suponha que exista o limite

Entāo:

L=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
\angle 1 \Rightarrow convergy &
71 diverge
=1 incomelerades
  • Se L<1, entāo \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, ou seja, a sequência converge para zero.
  • Se L>1, então \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty, ou seja, a sequência diverge,
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Utilizando o critério da razão, estude a convergência da seguinte sequencia:
\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} onde a_{n}=\frac{(-3)^{n}}{n!}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} definida por
a_{n}=\frac{(-3)^{n}}{n!}.
A tarefa é estudar a convergência dessa sequência usando o critério da razão, ou seja, calcular
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
e decidir o que o valor de L implica sobre o comportamento de \left(a_{n}\right).

Passo 2

Vou lembrar o que diz o critério da razão para sequências (explicação passo a passo e didática):
  • Definimos L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| quando esse limite existe.
  • Interpretação do que acontece segundo o valor de L:
    • Se L<1, então \lim_{n\to\infty} a_n = 0 (a sequência converge para zero).
    • Se L>1, então |a_n| cresce e a sequência diverge em módulo (não converge).
    • Se L=1, o teste é inconclusivo (é preciso outro método).
  • Observação sobre valor absoluto: usamos \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| para ignorar sinais alternados — o teste analisa o comportamento do módulo dos termos.

Passo 3

Calculemos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} para a sequência dada. Substituindo:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{(-3)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{(-3)^{\,n}}{n!}}.
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro, dividir potências de (-3):
\frac{(-3)^{\,n+1}}{(-3)^{\,n}} = (-3)^{(n+1)-n}=(-3)^1 = -3.
Depois, dividir fatoriais:
\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{n!}{(n+1)\,n!}=\frac{1}{n+1}.
Multiplicando as partes:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=(-3)\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{-3}{n+1}.

Passo 4

Agora tomamos o valor absoluto da razão e o limite:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{-3}{n+1}\right|=\frac{3}{n+1}.
Calcule o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1}.
Como o denominador n+1 cresce sem limite, a fração tende a zero. Logo
L=0.

Passo 5

Aplicando o critério da razão: como encontramos L=0 e 0<1, o critério garante que \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Intuição rápida para lembrar na prova: o fatorial n! cresce muito mais rápido que a potência 3^n, por isso os termos \dfrac{3^n}{n!} (e, portanto, \dfrac{(-3)^n}{n!}) vão para zero. Dica prática: sempre que aparecer n! convém tentar o critério da razão — costuma simplificar bem.

Resposta

A sequência converge e \lim_{n\to\infty} a_{n}=0

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