Exercício 1. Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução do problema de valor inicial:
Aot Ait
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede a solução
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação diferencial é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo independente (lado direito) é o polinômio
. - Existem duas condições iniciais:
e .
A partir daqui vamos encontrar a solução que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito).
A equação homogênea é
A equação homogênea é
Para resolver esse tipo de equação usamos a tentativa de solução exponencial
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorá-la:
logo as raízes são
e
. Isso significa que a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais depois.
Passo 3
Escolher uma forma para a solução particular
usando o método dos coeficientes a determinar.
O lado direito da equação é , que é um polinômio de grau 1. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução particular também polinomial do mesmo grau:
O lado direito da equação é
onde
e
são coeficientes desconhecidos que vamos determinar. Observação importante (didática): se o polinômio escolhido fosse parte da solução homogênea — por exemplo se
fosse raiz da equação característica — teríamos que multiplicar a tentativa por
suficiente vezes. No nosso caso as raízes da homogênea são
e
, não incluem
, então não há ressonância e a forma
é adequada.
Passo 4
Calcular as derivadas de
e substituir na equação para determinar
e
.
Derivadas de :
Derivadas de
Substituindo em
, obtemos
Simplificamos o lado esquerdo:
Como isso deve ser igual a
para todo
, igualamos coeficientes do polinômio em
:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Passo 5
Resolver o sistema para
e
.
Da primeira equação temos
Da primeira equação
Substituindo na segunda equação
dá
Portanto a solução particular é
Passo 6
Formar a solução geral da equação não homogênea somando homogênea e particular.
Passo 7
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro, calcule :
Primeiro, calcule
Agora calcule
. Derivando a solução geral:
Aplicando
e a condição
:
Agora resolvemos o sistema linear
Subtraindo a primeira equação da segunda:
logo
E então
Passo 8
Escrever a solução completa com os valores encontrados para as constantes.
Substituindo e
em
obtemos
Substituindo