Exercício 1. Usando o método dos coeficientes a determinar, encontre a solução do problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 t, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 Aot Ait

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede a solução y(t):
y''+y'-2y=2t, \qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação diferencial é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo independente (lado direito) é o polinômio 2t.
  • Existem duas condições iniciais: y(0)=0 e y'(0)=1.
    A partir daqui vamos encontrar a solução que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, sem o termo do lado direito).
A equação homogênea é
y''+y'-2y=0.
Para resolver esse tipo de equação usamos a tentativa de solução exponencial y=e^{rt}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica
r^{2}+r-2=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorá-la:
r^{2}+r-2=(r+2)(r-1)=0,
logo as raízes são r=1 e r=-2. Isso significa que a solução geral da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_{c}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais depois.

Passo 3

Escolher uma forma para a solução particular y_{p}(t) usando o método dos coeficientes a determinar.
O lado direito da equação é 2t, que é um polinômio de grau 1. Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos uma solução particular também polinomial do mesmo grau:
y_{p}(t)=at+b,
onde a e b são coeficientes desconhecidos que vamos determinar. Observação importante (didática): se o polinômio escolhido fosse parte da solução homogênea — por exemplo se 0 fosse raiz da equação característica — teríamos que multiplicar a tentativa por t suficiente vezes. No nosso caso as raízes da homogênea são 1 e -2, não incluem 0, então não há ressonância e a forma at+b é adequada.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{p} e substituir na equação para determinar a e b.
Derivadas de y_{p}:
y_{p}'(t)=a,\qquad y_{p}''(t)=0.
Substituindo em \,y''+y'-2y=2t, obtemos
0 + a - 2(at+b)=2t.
Simplificamos o lado esquerdo:
a - 2at - 2b = (-2a)t + (a-2b).
Como isso deve ser igual a 2t para todo t, igualamos coeficientes do polinômio em t:
  • Coeficiente de t: -2a = 2.
  • Termo constante: a-2b = 0.

Passo 5

Resolver o sistema para a e b.
Da primeira equação -2a=2 temos
a=-1.
Substituindo na segunda equação a-2b=0
-1-2b=0 \quad\Rightarrow\quad b=-\tfrac{1}{2}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(t)=-t-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Formar a solução geral da equação não homogênea somando homogênea e particular.
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-2t}-t-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro, calcule y(0):
y(0)=C_{1}+C_{2}-0-\tfrac{1}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=\tfrac{1}{2}.
Agora calcule y'(t). Derivando a solução geral:
y'(t)=C_{1}e^{t}-2C_{2}e^{-2t}-1.
Aplicando t=0 e a condição y'(0)=1:
y'(0)=C_{1}-2C_{2}-1=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}-2C_{2}=2.
Agora resolvemos o sistema linear
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\tfrac{1}{2},\\[4pt] C_{1}-2C_{2}=2. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C_{1}-2C_{2})-(C_{1}+C_{2})=2-\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad -3C_{2}=\tfrac{3}{2},
logo
C_{2}=-\tfrac{1}{2}.
E então
C_{1}=\tfrac{1}{2}-C_{2}=\tfrac{1}{2}-\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=1.]

Passo 8

Escrever a solução completa com os valores encontrados para as constantes.
Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=-\tfrac{1}{2} em y(t) obtemos
y(t)=e^{t}-\tfrac{1}{2}e^{-2t}-t-\tfrac{1}{2}.

Resposta

y(t)=e^{t}-\tfrac{1}{2}e^{-2t}-t-\tfrac{1}{2}

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