Exercício 8: A curva é dada por
\vec{r}(t)=(t, \ln (\operatorname{cosh} t)), \quad t \in \mathbb{R} .
a) Calcule \mathrm{dx} / \mathrm{dt} e dy/dt
b) Determine a expressão da curvatura \kappa(t).
c) Calcule \kappa(0).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\vec{r}(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(t,\ln(\operatorname{cosh} t)\bigr),\quad t\in\mathbb{R},
e pede:
– (a) as derivadas x'(t) e y'(t);
– (b) a curvatura \kappa(t);
– (c) o valor de \kappa(0).
Para isso vamos usar a regra da cadeia para derivar \ln(\operatorname{cosh} t) e a fórmula da curvatura de uma curva no plano:
\kappa(t) = \frac{\bigl|x'(t)\,y''(t) - y'(t)\,x''(t)\bigr|}{\bigl[x'(t)^2 + y'(t)^2\bigr]^{3/2}}.

Passo 2

Calculamos x'(t) e y'(t). Como x(t)=t,
x'(t) = 1,\quad x''(t)=0.
Para y(t)=\ln(\operatorname{cosh} t) aplicamos a regra da cadeia:
y'(t) = \frac{1}{\operatorname{cosh} t}\,\operatorname{sinh} t = \operatorname{tanh} t, \quad y''(t) = \frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{tanh} t\bigr) = \sech^2 t.

Passo 3

Substituímos em
\kappa(t) = \frac{\bigl|x'\,y'' - y'\,x''\bigr|}{\bigl(x'^2 + y'^2\bigr)^{3/2}}.
Temos x'=1, x''=0, y'=\operatorname{tanh} t, y''=\sech^2 t. Logo o numerador é \bigl|1\cdot\sech^2 t - \operatorname{tanh} t\cdot0\bigr| = \sech^2 t e o denominador é
\bigl(1 + \operatorname{tanh}^2 t\bigr)^{3/2}.
Assim
\kappa(t) = \frac{\sech^2 t}{\bigl(1 + \operatorname{tanh}^2 t\bigr)^{3/2}}.

Passo 4

Para \kappa(0) usamos \operatorname{tanh} 0=0 e \sech 0=1. Assim
\kappa(0) = \frac{1^2}{(1 + 0^2)^{3/2}} = 1.

Resposta

(a) \dfrac{dx}{dt} = 1, \dfrac{dy}{dt} = \operatorname{tanh} t.
(b) \displaystyle \kappa(t) = \frac{\sech^2 t}{\bigl(1 + \operatorname{tanh}^2 t\bigr)^{3/2}}.
(c) \kappa(0) = 1.

Exercícios relacionados