Mostre que:
(0,2) se S subset Z, S neq emptyset, é limitado inferiormente, então inf S in S.

Passo 1

O enunciado diz que S é um subconjunto não-vazio de Z e que existe algum minR tal que m<= s para todo sin S. Queremos mostrar que inf S, o ínfimo de S visto como subconjunto de R, na verdade pertence a S. Para isso, vamos usar propriedades de ínfimo em R e o fato de que Z não tem “buracos”: entre dois inteiros consecutivos não há reais que possam servir de novo ínfimo.

Passo 2

Seja y = inf S. Defina k = lceil yrceil, o menor inteiro maior ou igual a y. Então, por definição,
k-1 < y <= k
Como y é ínfimo, y é o maior número que ainda é menor ou igual a todos os sin S. Se k>y, então k não pode ser um limitante inferior de S, isto é, existe s0in S tal que
s0 < k
Mas como s0 e k são inteiros, s0 <= k-1. Então
s0 <= k-1 < y,
o que contradiz y<= s0 (propriedade de ínfimo). Logo a hipótese k>y falha, forçando
k = y
Portanto y é inteiro.

Passo 3

Agora que sabemos y=inf SinZ e que y é limitante inferior de S, suponha, para fins de contradição, que ynotin S. Então todo elemento sin S satisfaz s>y. Como s é inteiro e y também, segue
s>= y+1
para todo sin S. Mas isso implica que y+1 é um limitante inferior de S, e y+1>y, o que contradiz o fato de y ser o maior limitante inferior. Logo não pode ser que ynotin S.

Resposta

Portanto concluímos que inf S=y é um elemento de S.

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