Mostre que:
se
, é limitado inferiormente, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um subconjunto não-vazio de
e que existe algum
tal que
para todo
. Queremos mostrar que
, o ínfimo de
visto como subconjunto de
, na verdade pertence a
. Para isso, vamos usar propriedades de ínfimo em
e o fato de que
não tem “buracos”: entre dois inteiros consecutivos não há reais que possam servir de novo ínfimo.
Passo 2
Seja
. Defina
, o menor inteiro maior ou igual a
. Então, por definição,
Como
é ínfimo,
é o maior número que ainda é menor ou igual a todos os
. Se
, então
não pode ser um limitante inferior de
, isto é, existe
tal que
Mas como
e
são inteiros,
. Então
o que contradiz
(propriedade de ínfimo). Logo a hipótese
falha, forçando
Portanto
é inteiro.
Passo 3
Agora que sabemos
e que
é limitante inferior de
, suponha, para fins de contradição, que
. Então todo elemento
satisfaz
. Como
é inteiro e
também, segue
para todo
. Mas isso implica que
é um limitante inferior de
, e
, o que contradiz o fato de
ser o maior limitante inferior. Logo não pode ser que
.
Resposta
Portanto concluímos que
é um elemento de
.