Exercício 1. Seja f: U longrightarrow R^m uma função definida em um aberto U subseteq R^n e seja x in U. Suponhamos que existam transformações lineares S, T in L(R^n ; R^m) tais que, para todo h in R^n com x+h in U,
lim h 0 |f(x+h)-f(x)-S(h)||h|=0=lim h 0 |f(x+h)-f(x)-T(h)||h|
Mostre que S=T. Em particular, este exercício prova que a derivada de uma função diferenciável em um ponto x in U é única e está bem definida como a transformação linear f^prime(x) in L(R^n ; R^m) que satisfaz a propriedade acima.

Passo 1

O enunciado afirma que existem duas transformações lineares S e T tais que, para todo h com x+hin U,
limhto0l|f(x+h)-f(x)-S(h)r||h|=0 e limhto0l|f(x+h)-f(x)-T(h)r||h|=0
O conteúdo aqui é a unicidade da diferencial: se duas lineares aproximam f de forma “erro o(|h|)”, então elas coincidem. Vamos provar que S=T.

Passo 2

Definimos a transformação linear
D = S - T
Queremos mostrar que D é a transformação nula. Observe que, para todo h com x+hin U,
D(h) = S(h)-T(h) = l[f(x+h)-f(x)-T(h)r] -l[f(x+h)-f(x)-S(h)r]

Passo 3

Pelo triângulo inverso, temos
l|D(h)r| <= l|f(x+h)-f(x)-S(h)r| + l|f(x+h)-f(x)-T(h)r|
Dividindo por |h| e passando ao limite hto0, obtemos
limhto0l|D(h)r||h| ;<=; limhto0l|f(x+h)-f(x)-S(h)r||h| ;+; limhto0l|f(x+h)-f(x)-T(h)r||h| =0+0=0
Logo
limhto0l|D(h)r||h|=0

Passo 4

Como D é linear, para qualquer vetor fixo vneq0 e escalar real tneq0 vale
D(tv)=t,D(v), |tv|=|t|,|v|
Então
l|D(tv)r||tv| =|t|,|D(v)||t|,|v| =|D(v)||v|
Mas ao fazermos tto0, tvto0 e a expressão à esquerda tende a zero pelo passo anterior. Assim
|D(v)||v|=0 Longrightarrow D(v)=0

Passo 5

Como v foi arbitrário em R^n, concluímos que D(v)=0 para todo v, ou seja, D é a aplicação nula. Portanto
S-T=D=0 Longrightarrow S=T

Resposta

Ficou demonstrado que S=T.

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