Exercício 1. Seja uma função definida em um aberto e seja . Suponhamos que existam transformações lineares tais que, para todo ,
Mostre que . Em particular, este exercício prova que a derivada de uma função diferenciável em um ponto é única e está bem definida como a transformação linear que satisfaz a propriedade acima.
Passo 1
O enunciado afirma que existem duas transformações lineares e tais que, para todo com ,
O conteúdo aqui é a unicidade da diferencial: se duas lineares aproximam f de forma “erro o(|h|)”, então elas coincidem. Vamos provar que S=T.
Passo 2
Definimos a transformação linear
D = S - T
Queremos mostrar que D é a transformação nula. Observe que, para todo h com x+hin U,