Exercício 7. (D. 6, ex.2.8) Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:
e^-(2 x+1)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(x)=e^-(2x+1)^2
O conteúdo que vamos usar é a transformada da gaussiana padrão, mais as propriedades de escala e de deslocamento no domínio.

Passo 2

Lembramos a transformada da gaussiana padrão:
Fe^-x^2(omega) =integral-infty^inftye^-x^2e^-iomega x,dx =raizpi,e^-omega^2/4

Passo 3

Aplicamos a propriedade de escala. Seja
h(x)=e^-4x^2=e^-(2x)^2
Como h(x)=g(2x) com g(u)=e^-u^2, a transformada é
Fh(x)(omega) =12,Fg(u)l(tfracomega2r) =12,raizpi,e^-(omega/2)^2/4 =raizpi2,e^-omega^2/16

Passo 4

Agora usamos deslocamento: como
f(x)=hl(x+tfrac12r),
isto é, h deslocada em -tfrac12, a transformada adquire fator de fase:
Ff(x)(omega) =e^,iomega,(1/2),Fh(x)(omega) =e^,iomega/2,raizpi2,e^-omega^2/16

Resposta

Fe^-(2x+1)^2(omega) =raizpi2,e^-omega^2/16 + iomega/2

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