Exercício 1. (D. 6, ex.2.2) Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo:
.)
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Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier da função
O conteúdo é integral de Gauss com termo oscilatório, e vamos precisar da definição
e da técnica de completar o quadrado no expoente.
e da técnica de completar o quadrado no expoente.
Passo 2
Aplicando a definição, escrevemos a transformada como
Passo 3
No expoente, combinamos termos quadráticos e lineares em
por completar o quadrado:
Logo
Passo 4
Substituindo na integral e fazendo a mudança de variável
(o desvio no plano complexo não altera a integral gaussiana), temos
Aqui usamos a integral padrão
Passo 5
Portanto, a transformada de Fourier da gaussiana é outra gaussiana em
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