Exercício 1. (D. 6, ex.2.2) Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo:
.)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(x)=e^-a x^2, a>0
O conteúdo é integral de Gauss com termo oscilatório, e vamos precisar da definição
Ff(omega)=integral-infty^inftyf(x),e^-iomega x,dx
e da técnica de completar o quadrado no expoente.

Passo 2

Aplicando a definição, escrevemos a transformada como
hat f(omega)=integral-infty^inftye^-a x^2,e^-iomega x,dx =integral-infty^inftyexpl(-a x^2-iomega xr),dx

Passo 3

No expoente, combinamos termos quadráticos e lineares em x por completar o quadrado:
-a x^2-iomega x =-al(x^2+iomegaaxr) =-al(x+iomega2ar)^2-omega^24a
Logo
expl(-a x^2-iomega xr) =exp!l(-al(x+tfraciomega2ar)^2r), exp!l(-tfracomega^24ar)

Passo 4

Substituindo na integral e fazendo a mudança de variável
u=x+tfraciomega2a (o desvio no plano complexo não altera a integral gaussiana), temos
hat f(omega) =e^-omega^2/(4a)integral-infty^inftye^-a u^2,du =e^-omega^2/(4a)raizpia
Aqui usamos a integral padrão
integral-infty^inftye^-a u^2,du=raizpi/a

Passo 5

Portanto, a transformada de Fourier da gaussiana é outra gaussiana em omega.

Resposta

boxedhat f(omega)=integral-infty^inftye^-a x^2e^-iomega x,dx =raizpia;e^-omega^2/(4a)

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