Questão 1 (1,5 pontos)
Resolva o PVI e determine o intervalo máximo definição da solução:
x^2 y^prime=(1+x^2) y^2 y(1)=12

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x^2y'=(1+x^2)y^2, y(1)=tfrac12,
que é uma equação diferencial ordinária de variável separável. Vamos separar as variáveis, integrar, aplicar a condição inicial e, por fim, determinar o maior intervalo de definição contendo x=1.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita de derivada,
y'=1+x^2x^2,y^2
Agora separamos as variáveis y e x:
dyy^2=1+x^2x^2,dx =l(1x^2+1r),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dyy^2 =integrall(1x^2+1r),dx
No lado esquerdo,
integral y^-2dy=-1y + C1
No lado direito,
integral1x^2dx+integral 1,dx =-1x + x + C2
Igualando e absorvendo constantes num único C,
-1y = -1x + x + C Longrightarrow 1y=1x - x + C'

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=tfrac12. Quando x=1 e y=tfrac12,
11/2=2 =11-1 + C' =1-1 + C' ;Longrightarrow;C'=2
Logo
1y=1x - x + 2

Passo 5

Invertendo para y,
y(x) =1 1x - x +2 =x,1 +2x - x^2,

Passo 6

Para achar o intervalo máximo de definição contendo x=1, note que:
– A equação original exige xneq0.
– A solução diverge quando 1/y=0, ou seja quando
1x - x +2=0 Long<=ftrightarrow -x^2+2x+1=0 Long<=ftrightarrow x=1pmraiz2
Destes pontos, x=1-raiz2<0 e x=1+raiz2>1. O mais próximo de x=1 à esquerda é x=0, e à direita é x=1+raiz2. Portanto o maior intervalo aberto que contém x=1 é
(0,;1+raiz2)

Resposta

y(x)=x1+2x - x^2, xinl(0,;1+raiz2r)

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