Questão 1 (1,5 pontos)
Resolva o PVI e determine o intervalo máximo definição da solução:
Resolva o PVI e determine o intervalo máximo definição da solução:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial ordinária de variável separável. Vamos separar as variáveis, integrar, aplicar a condição inicial e, por fim, determinar o maior intervalo de definição contendo
.
Passo 2
Reescrevendo em forma explícita de derivada,
Agora separamos as variáveis
e
:
Passo 3
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo,
No lado direito,
Igualando e absorvendo constantes num único
,
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
. Quando
e
,
Logo
Passo 5
Invertendo para
,
Passo 6
Para achar o intervalo máximo de definição contendo
, note que:
– A equação original exige .
– A solução diverge quando , ou seja quando
– A equação original exige
– A solução diverge quando
Destes pontos,
e
. O mais próximo de
à esquerda é
, e à direita é
. Portanto o maior intervalo aberto que contém
é