Questão 5

Considere um sistema massa mola definido pelo PVI
l 4 x^prime prime+8 x^prime+3 x=0 x(0)=-2, x^prime(0)=v0
(a) Determine o PVI
(b)Para que valores de v0 a massa passa pela posição de equííbrio, num instante t>0 ?.

Passo 1

O enunciado dá o PVI de um oscilador amortecido
4,x'' + 8,x' + 3,x = 0,
com condições iniciais x(0) = -2 e x'(0)=v0. Para simplificar, dividimos toda a equação por 4, obtendo a forma padrão
x'' + 2,x' + tfrac34,x = 0,
com
x(0) = -2, x'(0) = v0

Passo 2

Para resolver a ODE homogênea usaremos a equação característica
r^2 + 2,r + tfrac34 = 0
Calculando o discriminante De<a = 2^2 - 4cdottfrac34 = 1, os raízes são
r = -2 pm 12,
isto é
r1 = -tfrac12, r2 = -tfrac32

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
x(t) = C1,e^-t/2 + C2,e^-3t/2

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais para determinar
Derivando :
logo em :
Multiplicando por a segunda equação:
Resolvendo o sistema
(

]
achamos

Portanto

Passo 5

Para que a massa passe pela posição de equilíbrio x=0 em algum t>0, precisamos de
x(t)=0 ;Longrightarrow; (v0-3),e^-t/2 + (1 - v0),e^-3t/2 = 0
Multiplicando por e^3t/2:
(v0-3),e^t = v0-1 ;Longrightarrow; e^t = v0-1v0-3
Como e^t>1 para todo t>0, exige-se
v0-1v0-3 > 1 ;Longrightarrow; v0 > 3

Resposta

(a) Em forma padrão:
x'' + 2,x' + tfrac34,x = 0, x(0)=-2,; x'(0)=v0
(b) A massa passa por x=0 em t>0 se, e somente se,
v0 > 3

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