Exercício 1. (D. 6, ex.2.2) Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo:
f(x)=e^-a|x|.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(x)=e^-a|x|, a>0
Vamos usar a definição
F(omega)=integral-infty^inftyf(x),e^-iomega x,dx
Como a integral é imprópria, vamos dividir em duas regiões: x>=0 e x<0.

Passo 2

Para x>=0 temos f(x)=e^-ax, então
I1=integral0^inftye^-axe^-iomega x,dx =integral0^inftye^-(a+iomega)x,dx
Essa integral converge (pois Re(a+iomega)=a>0) e resulta em
I1 =[e^-(a+iomega)x-(a+iomega)]0^infty =1a+iomega

Passo 3

Para x<0 temos f(x)=e^ax, então
I2=integral-infty^0e^axe^-iomega x,dx =integral-infty^0e^(a-iomega)x,dx
Como a>0, a integral converge e dá
I2 =[e^(a-iomega)xa-iomega]-infty^0 =1a-iomega

Passo 4

Somando as duas partes obtemos
F(omega)=I1+I2 =1a+iomega+1a-iomega =(a-iomega)+(a+iomega)a^2+omega^2 =2aa^2+omega^2

Resposta

F(omega)=2aa^2+omega^2

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