Exercício 1. (D. 6, ex.2.2) Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo:
, para uma constante
a>0 .
Passo 1
O enunciado define a função retangular
com
a>0 , e pede sua transformada de Fourier. Vamos usar a definição padrão
e aproveitar que
ua(x) só é não nula em
[-a,a] .
Passo 2
Restrinja o domínio de integração ao suporte de
ua :
Passo 3
Calcule uma primitiva de
e^-iomega x :
Logo, aplicando os limites de
-a a
a :
Passo 4
Reescreva a diferença de exponenciais em termos de seno:
Substituindo em
hat ua(omega) dá
Note que, para
omega=0 , usa-se o limite
limomegato02sin(omega a)/omega=2a .
Resposta
com valor contínuo
hat ua(0)=2a .