Exercício 1. (D. 6, ex.2.2) Calcule as transformadas de Fourier das funções abaixo:
ua(x)=l1, se |x| <= a 0, se |x|>a, para uma constante a>0.

Passo 1

O enunciado define a função retangular
ua(x)= 1,&se |x|<= a, 0,&se |x|>a,
com a>0, e pede sua transformada de Fourier. Vamos usar a definição padrão
hat ua(omega) =integral-infty^inftyua(x),e^-iomega x,dx
e aproveitar que ua(x) só é não nula em [-a,a].

Passo 2

Restrinja o domínio de integração ao suporte de ua:
hat ua(omega) =integral-a^ae^-iomega x,dx

Passo 3

Calcule uma primitiva de e^-iomega x:
integral e^-iomega x,dx =-1iomegae^-iomega x
Logo, aplicando os limites de -a a a:
hat ua(omega) =-1iomegal[e^-iomega xr]x=-a^x=a =-1iomegal(e^-iomega a-e^iomega ar)

Passo 4

Reescreva a diferença de exponenciais em termos de seno:
-l(e^-iomega a-e^iomega ar) =e^iomega a-e^-iomega a =2isin(omega a)
Substituindo em hat ua(omega)
hat ua(omega) =2isin(omega a)iomega =2,sin(omega a)omega
Note que, para omega=0, usa-se o limite limomegato02sin(omega a)/omega=2a.

Resposta

hat ua(omega) =2,sin(omega a)omega,
com valor contínuo hat ua(0)=2a.

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