Sem resolver, faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.
Passo 1
Temos uma EDO autônoma de primeira ordem
O que se pede é construir o diagrama de fases (esboço qualitativo das soluções) e identificar as soluções de equilíbrio (pontos críticos) e sua estabilidade. Para isso vamos: . Encontrar os valores de tais que . . Analisar o sinal de em cada intervalo gerado por esses pontos. . Classificar cada equilíbrio conforme o fluxo (setas) no diagrama de fases.
Passo 2
Os pontos de equilíbrio são as raízes de
Logo as soluções constantes são
Observe que é raiz de multiplicidade , enquanto e são simples.
Passo 3
Analisemos o sinal de . Como nunca muda de sinal, basta olhar para
Intervalos e sinais de :
Para : e .
Para : e .
Para : e .
Para : e .
No eixo isso dá o seguinte diagrama de fases (setas representam o sinal de ):
Passo 4
A partir das setas determinamos a estabilidade:
Em y=-1: à esquerda as setas apontam para a direita (movem-se em direção a -1), mas à direita também apontam para a direita (movem-se para longe de -1). Isso caracteriza um ponto semi-estável (atrai de um lado e repele do outro).
Em y=0: à esquerda as setas apontam para a direita (dão fluxo em direção a 0) e à direita apontam para a esquerda (também fluem para 0). Logo y=0 é estável (atrai de ambos os lados).
Em y=2: as setas à esquerda apontam para a esquerda (afastam-se de 2) e à direita apontam para a direita (também se afastam). Logo y=2 é instável.
Resposta
As soluções de equilíbrio e suas classificações são: y=-1 é semi-estável, y=0 é estável, y=2 é instável.