Questão 3(1,5pt): Considere a EDO
y^prime=(y+1)^2(y-2) y
Sem resolver, faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável.

Passo 1

Temos uma EDO autônoma de primeira ordem
dot y = (y+1)^2(y-2),y
O que se pede é construir o diagrama de fases (esboço qualitativo das soluções) e identificar as soluções de equilíbrio (pontos críticos) e sua estabilidade. Para isso vamos:
1. Encontrar os valores de y tais que dot y=0.
2. Analisar o sinal de dot y em cada intervalo gerado por esses pontos.
3. Classificar cada equilíbrio conforme o fluxo (setas) no diagrama de fases.

Passo 2

Os pontos de equilíbrio são as raízes de
(y+1)^2(y-2),y = 0
Logo as soluções constantes são
y = -1, y = 0, y = 2
Observe que y=-1 é raiz de multiplicidade 2, enquanto y=0 e y=2 são simples.

Passo 3

Analisemos o sinal de dot y. Como (y+1)^2>=0 nunca muda de sinal, basta olhar para
y(y-2)
Intervalos e sinais de y(y-2):
  • Para y<-1: y<0 e y-2<0 Rightarrow y(y-2)>0 Rightarrow dot y>0.
  • Para -1<y<0: y<0 e y-2<0 Rightarrow y(y-2)>0 Rightarrow dot y>0.
  • Para 0<y<2: y>0 e y-2<0 Rightarrow y(y-2)<0 Rightarrow dot y<0.
  • Para y>2: y>0 e y-2>0 Rightarrow y(y-2)>0 Rightarrow dot y>0.
No eixo y isso dá o seguinte diagrama de fases (setas representam o sinal de dot y):
cdots;;(-);;underbracelongrightarrowy<-1;;(-1);;underbracelongrightarrow-1<y<0;;(0);;underbracelong<=ftarrow0<y<2;;(2);;underbracelongrightarrowy>2;;cdots

Passo 4

A partir das setas determinamos a estabilidade:
  • Em y=-1: à esquerda as setas apontam para a direita (movem-se em direção a -1), mas à direita também apontam para a direita (movem-se para longe de -1). Isso caracteriza um ponto semi-estável (atrai de um lado e repele do outro).
  • Em y=0: à esquerda as setas apontam para a direita (dão fluxo em direção a 0) e à direita apontam para a esquerda (também fluem para 0). Logo y=0 é estável (atrai de ambos os lados).
  • Em y=2: as setas à esquerda apontam para a esquerda (afastam-se de 2) e à direita apontam para a direita (também se afastam). Logo y=2 é instável.

Resposta

As soluções de equilíbrio e suas classificações são:
y=-1 é semi-estável,
y=0 é estável,
y=2 é instável.

Exercícios relacionados