Exercício 2. (D. 6, ex.2.3) Encontre uma função f: R C tal que f=f, ou seja, tal que f seja igual a sua transformada de Fourier. (Lembre-se dos exemplos dados em sala de aula)

Passo 1

O enunciado pede uma função fcolon RtoC tal que ela seja igual à sua transformada de Fourier, ou seja,
widehat f(xi)=f(xi)forall,xiinR
O conteúdo aqui é a propriedade das funções-próprias da transformada de Fourier, em particular as gaussianas.

Passo 2

Vamos usar a convenção
widehat f(xi)=integral-infty^inftyf(x),e^-2pi i xxi,dx
É conhecido que, para a>0,
integral-infty^infty e^-a x^2e^-2pi i xxi,dx =raizpia;e^-pi^2xi^2/a

Passo 3

Escolhendo a=pi obtemos
integral-infty^infty e^-pi x^2e^-2pi i xxi,dx =raizpipi;e^-pi^2xi^2/pi =e^-pixi^2
Ou seja, se definirmos
f(x)=e^-pi x^2,
então widehat f(xi)=e^-pixi^2=f(xi).

Resposta

A função
f(x)=e^-pi x^2
satisfaz widehat f=f.

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