Uma função f é dita injetora, se forall y in Im(f), exists!x in D(f), com y=f(x), ou, equivalentemente, se f(x1)=f(x2) implicar x1=x2 f será sobrejetora, se para qualquer y no contra-domínio de f, existir x no domínio de f, com y=f(x).
Se uma função f é injetora e sobrejetora, diz-se, então, que f é bijetora e, como conseqüência, sendo
f: D(f) & Im(f) x & mapsto f(x)=y,
existirá uma função
g: Im(f) & D(f) y=f(x) & mapsto g(y)=x
chamada de inversa de f, denotada por g=f^-1.
b) para quais valores de x, f(x)=g(x) ?

Passo 1

O enunciado lembra que, se f é bijetora, existe a inversa g=f^-1, isto é
gcolon Im(f)to D(f), gl(f(x)r)=x
A pergunta (b) é: para quais x vale
f(x)=g(x)?

Passo 2

Escrevemos a condição que queremos resolver, usando que g=f^-1:
f(x)=g(x)Long<=ftrightarrow f(x)=f^-1(x)

Passo 3

Aplicamos f em ambos os lados da igualdade f(x)=f^-1(x). Como fcirc f^-1=id, obtemos
fl(f(x)r)=x

Passo 4

A equação
fl(f(x)r)=x
diz que, ao aplicar f duas vezes em x, voltamos a x.

Passo 5

Em termos de teoria de permutações de D(f), isso significa que cada x está numa órbita de período 1 (ponto fixo, f(x)=x) ou período 2 (transposição, f(x)neq x mas f(f(x))=x).

Resposta

Os xin D(f) tais que
fl(f(x)r)=x,
isto é, exatamente os pontos fixos de f ( f(x)=x) ou os que formam ciclos de comprimento 2 ( f(x)neq x mas f(f(x))=x).

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