Exercício 4. (D. 6, ex.2.5) Mostre que se f: R C é uma função ímpar, ou seja, f(x)=-f(-x), então a sua transformada de Fourier f é uma função que assume apenas valores imaginários puros, ou seja, f(xi) é um imaginário puro para todo xi in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se fcolon RtoC é ímpar (i.e. f(x)=-f(-x)), então sua transformada de Fourier
hat f(xi) é um número imaginário puro para todo xiinR. O conteúdo usado será a definição de transformada de Fourier e argumentos de paridade (função par/ímpar).

Passo 2

Usamos a definição
hat f(xi) = integral-infty^inftyf(x),e^-2pi i xxi,dx
Como
e^-2pi i xxi =cosl(2pi xxir);-;i,sinl(2pi xxir),
podemos separar em parte real e imaginária.

Passo 3

Substituindo na integral, obtém-se
hat f(xi) = integral-infty^inftyf(x)cosl(2pi xxir),dx ;-; i, integral-infty^inftyf(x)sinl(2pi xxir),dx

Passo 4

Como f é ímpar, temos:
  • Na parte real, o integrando f(x)cos(2pi xxi) é ímpar (produto de ímpar por par), logo
integral-infty^inftyf(x)cosl(2pi xxir),dx =0
  • Na parte multiplicada por i, o integrando f(x)sin(2pi xxi) é par (produto de ímpar por ímpar), então
integral-infty^inftyf(x)sinl(2pi xxir),dx
é um número real.

Resposta

Portanto
hat f(xi) = -,i, underbraceintegral-infty^inftyf(x)sinl(2pi xxir),dxinR,
isto é, hat f(xi) é imaginário puro para todo xi.

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