Exercício 4. (D. 6, ex.2.5) Mostre que se é uma função ímpar, ou seja, , então a sua transformada de Fourier é uma função que assume apenas valores imaginários puros, ou seja, é um imaginário puro para todo .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se é ímpar (i.e. ), então sua transformada de Fourier é um número imaginário puro para todo . O conteúdo usado será a definição de transformada de Fourier e argumentos de paridade (função par/ímpar).
Passo 2
Usamos a definição
Como
podemos separar em parte real e imaginária.
Passo 3
Substituindo na integral, obtém-se
Passo 4
Como é ímpar, temos:
Na parte real, o integrando é ímpar (produto de ímpar por par), logo
Na parte multiplicada por , o integrando é par (produto de ímpar por ímpar), então