Questão 4 (1,5 pontos)
Resolva o problema da valor inicial
(y^prime)^2 y^prime prime=-(y^prime)^4y+2 , y(0)=-1 , y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
l(y'r)^2y'' = -l(y'r)^4y+2, y(0)=-1, y'(0)=1
Aqui vamos usar a técnica de reduzir a ordem definindo p=y' e o uso da regra da cadeia y''=p,(dp/dy).

Passo 2

Definindo p=y', temos
y'' = dpdx = dpdydydx = pdpdy
Substituindo na equação original:
p^2l(p,tfracdpdyr) = -p^4y+2 ;;Longrightarrow;; p^3dpdy = -p^4y+2

Passo 3

Como a condição inicial dá p(0)=y'(0)=1, assumimos pneq0 e dividimos por p^3:
dpdy = -py+2
Agora separamos variáveis e integramos:
integral 1p,dp = -integral 1y+2,dy ;;Longrightarrow;; ln|p| = -ln|y+2| + C1 ;;Longrightarrow;; p = Cy+2
Usando y(0)=-1 e p(0)=1 obtemos
1 = C(-1)+2 ;;Longrightarrow;; C = 1,
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y' = p = 1y+2

Passo 4

Voltando à variável x, temos
dydx = 1y+2 ;;Longrightarrow;; (y+2),dy = dx
Integramos ambos os lados:
integral (y+2),dy = integral dx ;;Longrightarrow;; y^22 + 2y = x + C2
Usando y(0)=-1:
(-1)^22 + 2(-1) = 0 + C2 ;;Longrightarrow;; 12 -2 = C2 ;;Longrightarrow;; C2 = -32
Então a relação implícita é
y^22 + 2y = x - 32 ;;Longrightarrow;; y^2 + 4y = 2x -3

Passo 5

Completando o quadrado:
y^2+4y+4 = 2x-3+4 ;;Longrightarrow;; (y+2)^2 = 2x+1
Para satisfazer y(0)=-1, escolhemos o sinal positivo na raiz:
y+2 = raiz2x+1 ;;Longrightarrow;; y(x) = -2 + raiz2x+1

Resposta

boxedy(x) = -2 + raiz2x+1

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