Seja V o espaço vetorial real das matrizes reais n times n. Exiba subespaços vetoriais W1 e W2 de V, tais que V=W1 oplus W2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dois subespaços vetoriais W1 e W2 de V=R^ntimes n tais que todo Ain V possa ser escrito de maneira única como A=W1-parte mais W2-parte. O conteúdo aqui é decomposição de matrizes em partes simétrica e antissimétrica.

Passo 2

Definimos
W1=AinR^ntimes nmid A^T=A
o subespaço das matrizes simétricas, e
W2=AinR^ntimes nmid A^T=-A
o subespaço das matrizes antissimétricas (ou skew-simétricas).

Passo 3

Para ver que W1+W2=V, pegamos qualquer Ain V e escrevemos
A=A+A^T2+A-A^T2
Note que A+A^T2in W1 (é simétrica) e A-A^T2in W2 (é antissimétrica). Logo, todo A é soma de um elemento de W1 com um de W2.

Passo 4

Para garantir que a soma é direta, mostramos que W1cap W2=0. Se Xin W1cap W2, então X^T=X e ao mesmo tempo X^T=-X. Assim X=-X, o que força X=0. Logo, não há outra interseção além da matriz nula.

Resposta

Definimos
W1=AinR^ntimes nmid A^T=A, W2=AinR^ntimes nmid A^T=-A
Com isso, V=W1oplus W2.

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