Seja
o espaço vetorial real das matrizes reais
. Exiba subespaços vetoriais
e
de
, tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar dois subespaços vetoriais
e
de
tais que todo
possa ser escrito de maneira única como
-parte mais
-parte. O conteúdo aqui é decomposição de matrizes em partes simétrica e antissimétrica.
Passo 2
Definimos
o subespaço das matrizes simétricas, e
o subespaço das matrizes antissimétricas (ou skew-simétricas).
Passo 3
Para ver que
, pegamos qualquer
e escrevemos
Note que
(é simétrica) e
(é antissimétrica). Logo, todo
é soma de um elemento de
com um de
.
Passo 4
Para garantir que a soma é direta, mostramos que
. Se
, então
e ao mesmo tempo
. Assim
, o que força
. Logo, não há outra interseção além da matriz nula.
Resposta
Definimos
Com isso,
.