Exercício 3. (D. 6, ex.2.4) Mostre que se
é uma função par, ou seja,
, então a sua transformada de Fourier
é uma função que assume apenas valores reais, ou seja,
para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma função par, isto é,
e pede para mostrar que a sua transformada de Fourier
é sempre um número real, ou seja,
para todo
.
Passo 2
Usamos a identidade de Euler para escrever o núcleo da transformada como
Substituindo na definição de
obtemos
Passo 3
Note que
é função par e
é função ímpar. Como
também é par, temos:
- O produto
é par, logo é duas vezes a integral de a , e portanto é um número real. - O produto
é ímpar, logo
Passo 4
Substituindo esses resultados em
vemos que a parte imaginária anula-se e sobra apenas a parte real:
Resposta
A transformada de Fourier de uma função par é real, ou seja,