Exercício 3. (D. 6, ex.2.4) Mostre que se f: R C é uma função par, ou seja, f(x)=f(-x), então a sua transformada de Fourier f é uma função que assume apenas valores reais, ou seja, f(xi) in R para todo xi in R.

Passo 1

O enunciado diz que f:RtoC é uma função par, isto é,
f(x)=f(-x)forall xinR,
e pede para mostrar que a sua transformada de Fourier
hat f(xi)=integral-infty^inftyf(x),e^-2pi i xxi,dx
é sempre um número real, ou seja, hat f(xi)inR para todo xi.

Passo 2

Usamos a identidade de Euler para escrever o núcleo da transformada como
e^-2pi i xxi =cosl(2pi xxir);-;i,sinl(2pi xxir)
Substituindo na definição de hat f(xi) obtemos
hat f(xi) =integral-infty^inftyf(x)cosl(2pi xxir),dx ;-;iintegral-infty^inftyf(x)sinl(2pi xxir),dx

Passo 3

Note que cos(2pi xxi) é função par e sin(2pi xxi) é função ímpar. Como f também é par, temos:
  • O produto f(x)cos(2pi xxi) é par, logo integral-infty^inftyf(x)cosl(2pi xxir),dx é duas vezes a integral de 0 a +infty, e portanto é um número real.
  • O produto f(x)sin(2pi xxi) é ímpar, logo integral-infty^inftyf(x)sinl(2pi xxir),dx =0

Passo 4

Substituindo esses resultados em hat f(xi) vemos que a parte imaginária anula-se e sobra apenas a parte real:
hat f(xi) =integral-infty^inftyf(x)cosl(2pi xxir),dx inR

Resposta

A transformada de Fourier de uma função par é real, ou seja,
hat f(xi)inR forall,xiinR

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