Questão 1 (3,0 pontos): Considere a função:
f(x)=-2x^3+1
a) Determine D(f), o domínio da função f ;
b) Calcule as interseções com os eixos, caso existam;
c) Mostre que:
f^prime(x)=6 x^2(x^3+1)^2 ; f^prime prime(x)=12 x(1-2 x^3)(x^3+1)^2
d) Encontre os pontos críticos;
e) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x);
f) Encontre os máximos e mínimos, se existirem;
g) Determine a concavidade e os pontos de inflexão, caso existam;
h) Encontre as assíntotas horizontais e/ou verticais;
i) Utilize as informações obtidas nos itens anteriores parar esboçar o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=-2x^3+1
Os tópicos são domínio, interseções, derivadas, pontos críticos, monotonia, extremos, concavidade, inflexão, assíntotas e esboço do gráfico. Vamos usar álgebra elementar, regra da cadeia e análise de sinais das derivadas.

Passo 2

Para achar o domínio D(f) precisamos garantir que o denominador seja não nulo:
x^3+1neq0Longrightarrow x^3neq-1Longrightarrow xneq-1
Logo
D(f)=Rsetminus-1

Passo 3

Interseções com os eixos:
– Eixo x: resolver f(x)=0. Como o numerador é constante -2, nunca é zero, não há raízes.
– Eixo y: em x=0
f(0)=-20^3+1=-2,
então há interseção em (0,-2).

Passo 4

Derivadas pela regra da cadeia com f(x)=-2,(x^3+1)^-1:
f'(x)=-2cdot(-1)(x^3+1)^-2cdot3x^2 =6x^2(x^3+1)^2
Agora derive f':
f'(x)=6x^2(x^3+1)^-2 Longrightarrow f''(x)=12x,(x^3+1)^-2 +6x^2,(-2)(x^3+1)^-3cdot3x^2
Colocando sobre o mesmo denominador (x^3+1)^3 e fatorando, obtém-se
f''(x) =12xl((x^3+1)-3x^3r)(x^3+1)^3 =12x(1-2x^3)(x^3+1)^3

Passo 5

Pontos críticos são onde f'=0 ou não existe:
f'(x)=0Longrightarrow6x^2=0Longrightarrow x=0
Além disso f' não existe em x=-1, mas esse ponto não está no domínio. Portanto o único ponto crítico é x=0.

Passo 6

Para monotonia analisamos o sinal de
f'(x)=6x^2(x^3+1)^2
O numerador é sempre >=0 e o denominador é sempre >0 em D(f). Logo f'(x)>0 para todo xin(-infty,-1)cup(-1,0)cup(0,infty). Assim f é estritamente crescente em cada um desses intervalos.

Passo 7

Como f' não muda de sinal em x=0 (permanece positivo), não há nem máximo nem mínimo local em x=0.

Passo 8

Concavidade vem do sinal de
f''(x)=12x(1-2x^3)(x^3+1)^3
Zeros de f'' ocorrem em x=0 e em 1-2x^3=0Rightarrow x=raiz[,3]tfrac12.
– Para x<0: x<0 e 1-2x^3>1, produto negativo implies concavidade para baixo.
– Para 0<x<raiz[3]tfrac12: x>0, 1-2x^3>0, produto positivo implies concavidade para cima.
– Para x>raiz[3]tfrac12: x>0, 1-2x^3<0, produto negativo implies concavidade para baixo.
Logo há pontos de inflexão em
l(0,f(0)r)=(0,-2) e l(raiz[,3]tfrac12,,-2(raiz[,3]tfrac12)^3+1r) =l(raiz[,3]tfrac12,,-tfrac43r)

Passo 9

Assíntotas:
– Vertical em x=-1, pois x^3+1to0 e lvert f(x)rverttoinfty.
– Horizontal em y=0, pois quando xtopminfty temos
f(x)=-2x^3+1sim-2x^3to0

Passo 10

Esboço qualitativo de f:
– Em (-infty,-1): f>0, cresce de 0^+ a +infty, concava-se para baixo e inflecte em x=0.
– Em (-1,0): f<0, cresce de -infty até -2 em x=0, concava-se para baixo.
– Em (0,raiz[3]tfrac12): f<0, cresce de -2 até -tfrac43, concava-se para cima.
– Em (raiz[3]tfrac12,infty): f<0, cresce de -tfrac43 até 0^-, concava-se para baixo.
– As assíntotas são x=-1 e y=0.

Resposta

Domínio: D(f)=Rsetminus-1
Interseções: sem raízes em x, e f(0)=-2 em y
f'(x)=6x^2(x^3+1)^2, f''(x)=12x(1-2x^3)(x^3+1)^3
Ponto crítico: x=0 (sem extremo)
Monotonia: f cresce em cada intervalo (-infty,-1), (-1,0), (0,infty)
Extremos: não há
Concavidade: côncava para baixo em (-infty,0)cup(raiz[3]tfrac12,infty), para cima em (0,raiz[3]tfrac12)
Inflexões: l(0,-2r) e l(raiz[3]tfrac12,-4/3r)
Assíntotas: vertical x=-1, horizontal y=0
Gráfico conforme descrito no esboço.

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