Questão 1 (3,0 pontos): Considere a função:
a) Determine
, o domínio da função f ;
b) Calcule as interseções com os eixos, caso existam;
c) Mostre que:
d) Encontre os pontos críticos;
e) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x);
f) Encontre os máximos e mínimos, se existirem;
g) Determine a concavidade e os pontos de inflexão, caso existam;
h) Encontre as assíntotas horizontais e/ou verticais;
i) Utilize as informações obtidas nos itens anteriores parar esboçar o gráfico de
.
b) Calcule as interseções com os eixos, caso existam;
c) Mostre que:
e) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x);
f) Encontre os máximos e mínimos, se existirem;
g) Determine a concavidade e os pontos de inflexão, caso existam;
h) Encontre as assíntotas horizontais e/ou verticais;
i) Utilize as informações obtidas nos itens anteriores parar esboçar o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo da função
Os tópicos são domínio, interseções, derivadas, pontos críticos, monotonia, extremos, concavidade, inflexão, assíntotas e esboço do gráfico. Vamos usar álgebra elementar, regra da cadeia e análise de sinais das derivadas.
Passo 2
Para achar o domínio
precisamos garantir que o denominador seja não nulo:
Logo
Passo 3
Interseções com os eixos:
– Eixo : resolver
. Como o numerador é constante
, nunca é zero, não há raízes.
– Eixo : em
– Eixo
– Eixo
então há interseção em
.
Passo 4
Derivadas pela regra da cadeia com
:
Agora derive
:
Colocando sobre o mesmo denominador
e fatorando, obtém-se
Passo 5
Pontos críticos são onde
ou não existe:
Além disso
não existe em
, mas esse ponto não está no domínio. Portanto o único ponto crítico é
.
Passo 6
Para monotonia analisamos o sinal de
O numerador é sempre
e o denominador é sempre
em
. Logo
para todo
. Assim
é estritamente crescente em cada um desses intervalos.
Passo 7
Como
não muda de sinal em
(permanece positivo), não há nem máximo nem mínimo local em
.
Passo 8
Concavidade vem do sinal de
Zeros de
ocorrem em
e em
.
– Para :
e
, produto negativo
concavidade para baixo.
– Para :
,
, produto positivo
concavidade para cima.
– Para :
,
, produto negativo
concavidade para baixo.
Logo há pontos de inflexão em
– Para
– Para
– Para
Logo há pontos de inflexão em
Passo 9
Assíntotas:
– Vertical em , pois
e
.
– Horizontal em , pois quando
temos
– Vertical em
– Horizontal em
Passo 10
Esboço qualitativo de
:
– Em :
, cresce de
a
, concava-se para baixo e inflecte em
.
– Em :
, cresce de
até
em
, concava-se para baixo.
– Em :
, cresce de
até
, concava-se para cima.
– Em :
, cresce de
até
, concava-se para baixo.
– As assíntotas são e
.
– Em
– Em
– Em
– Em
– As assíntotas são
Resposta
Domínio:
Interseções: sem raízes em , e
em
Interseções: sem raízes em
Ponto crítico:
(sem extremo)
Monotonia: cresce em cada intervalo
,
,
Extremos: não há
Concavidade: côncava para baixo em , para cima em
Inflexões: e
Assíntotas: vertical , horizontal
Gráfico conforme descrito no esboço.
Monotonia:
Extremos: não há
Concavidade: côncava para baixo em
Inflexões:
Assíntotas: vertical
Gráfico conforme descrito no esboço.