Calcule:
& (d) lim x 0[cotg(2 x) cdot sen(6 x)]
\lim _{x \rightarrow 0}[\operatorname{cotg}(2 x) \cdot \operatorname{sen}(6 x)]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0l[cotg(2x)cdotsen(6x)r]
O conteúdo aqui é cálculo de limites envolvendo funções trigonométricas. Vamos usar a identidade cotg(2x)=cos(2x)sen(2x) e o limite fundamental
limuto0sen(u)u=1

Passo 2

Reescrevendo a expressão em termos de cosseno e seno, temos
cotg(2x)cdotsen(6x) =cos(2x)sen(2x)cdotsen(6x) =cos(2x)cdotsen(6x)sen(2x)
À medida que xto0, cos(2x)to1. Então o limite fica
limxto0cos(2x)cdotsen(6x)sen(2x) =1cdotlimxto0sen(6x)sen(2x)

Passo 3

Para calcular limxto0sen(6x)sen(2x), escrevemos
sen(6x)sen(2x) =sen(6x)6xcdot6x2xcdot2xsen(2x)
Aplicando xto0, as frações sen(6x)6x e 2xsen(2x) tendem a 1, e 6x2x=3. Logo
limxto0sen(6x)sen(2x)=1cdot3cdot1=3
Portanto o limite original vale 1cdot3=3.

Resposta

3

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