Exercício 6. (D. 6, ex.2.7) Seja F a transformada de Fourier. Mostre que:
F(f(x))(xi)=F(f)(-xi).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a transformada de Fourier F definida por
F(f)(xi) =integral-infty^inftye^-2pi i xxi,f(x),dx
O que queremos mostrar é a identidade
Fl(f(x)r)(xi) =F(f)(-,xi)
Para isso vamos usar propriedades de conjugação complexa e mudança de variável.

Passo 2

Começamos escrevendo a definição de F(f)(xi):
Fl(fr)(xi) =integral-infty^inftye^-2pi i xxi,f(x),dx
Observe que para qualquer integrando complexo g(x) vale
integral g(x),dx=integralg(x),dx.

Passo 3

No integrando temos e^-2pi i xxi,f(x). Note que
e^2pi i xxi,f(x) =e^2pi i xxi;f(x) =e^-2pi i xxi,f(x)
Logo podemos escrever
e^-2pi i xxi,f(x) =e^2pi i xxi,f(x)

Passo 4

Substituindo no integral,
Fl(fr)(xi) =integral-infty^infty e^2pi i xxi,f(x) ,dx =integral-infty^inftye^2pi i xxi,f(x),dx,
onde no último passo tiramos a conjugação para fora da integral.

Passo 5

Reconhecemos que
integral-infty^inftye^2pi i xxi,f(x),dx =F(f)(-,xi),
pois basta trocar xi por -xi na definição de F(f). Portanto
Fl(fr)(xi) =F(f)(-,xi)

Resposta

Fl(f(x)r)(xi) =F(f)(-,xi)

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