Exercício 6. (D. 6, ex.2.7) Seja
a transformada de Fourier. Mostre que:
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a transformada de Fourier
F definida por
O que queremos mostrar é a identidade
Para isso vamos usar propriedades de conjugação complexa e mudança de variável.
Passo 2
Começamos escrevendo a definição de
F(f)(xi) :
Observe que para qualquer integrando complexo
g(x) vale
integral g(x),dx=integralg(x),dx .
Passo 3
No integrando temos
e^-2pi i xxi,f(x) . Note que
Logo podemos escrever
Passo 4
Substituindo no integral,
onde no último passo tiramos a conjugação para fora da integral.
Passo 5
Reconhecemos que
pois basta trocar
xi por
-xi na definição de
F(f) . Portanto