Questão 2. (2 pontos) Resolva o sistema de EDOLH.
l x^prime prime=2 x+y x^prime+y^prime=3 x+3 y

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
x'' = 2x + y, x' + y' = 3x + 3y,
que é um sistema linear acoplado de derivadas altas. Para resolver, vamos eliminar y e obter uma única EDO para x, usar a equação característica para achar x(t) e então recuperar y(t).

Passo 2

Da primeira equação isolamos y:
y = x'' - 2x
Derivando, obtemos
y' = x''' - 2x'

Passo 3

Substituímos y e y' na segunda equação:
x' + y' = x' + (x''' - 2x') = x''' - x'
e
3x + 3y = 3x + 3(x'' - 2x) = 3x'' -3x
Logo a segunda equação fica
x''' - x' = 3x'' - 3x
ou seja
x''' - 3x'' - x' + 3x = 0

Passo 4

Formamos a equação característica associada:
r^3 - 3r^2 - r + 3 = 0
Fatoramos por agrupamento:
r^2(r - 3) -1(r - 3) = (r^2 - 1)(r - 3) = 0,
de onde
r = 1, r = -1, r = 3
Portanto a solução geral de x(t) é
x(t) = C1 e^t + C2 e^-t + C3 e^3t

Passo 5

Usando y = x'' - 2x e calculando
x'' = C1 e^t + C2 e^-t + 9C3 e^3t,
segue
y(t) = l(C1 e^t + C2 e^-t + 9C3 e^3tr) - 2l(C1 e^t + C2 e^-t + C3 e^3tr) = -C1 e^t - C2 e^-t + 7C3 e^3t

Resposta

x(t) = C1 e^t + C2 e^-t + C3 e^3t, y(t) = -C1 e^t - C2 e^-t + 7C3 e^3t,
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

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