Questão 1. (2 pontos) Determine a solução geral da seguinte EDOL não homogênea de segunda ordem
2 y^prime prime-3 y^prime-2 y=5 e^2 x+5 sen x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
2y''-3y'-2y = 5e^2x + 5sin x
Conteúdo: para resolver, primeiro encontramos a solução complementar yc da parte homogênea pelo método da equação característica; depois obtemos uma solução particular yp pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte homogênea é
2y''-3y'-2y=0,
cuja equação característica é
2r^2-3r-2=0
Resolvendo
r = 3pmraiz9+164 = 3pm54,
obtemos r1=2 e r2=-tfrac12. Logo
yc(x)=C1e^2x+C2e^-x/2

Passo 3

Como o termo não homogêneo é soma de 5e^2x e 5sin x, procuramos
yp(x)=yp1(x)+yp2(x)
com
yp1(x)=A,x,e^2x (pois (e^2x) já é raiz simp<=s de mu<iplicidade 1), áé
yp2(x)=Bcos x + Csin x (forma usual para (sin x), sem choque com (yc))

Passo 4

Para yp1=A x e^2x:
yp1'=A e^2x(2x+1), yp1''=A e^2x(4x+4)
Substituindo em 2y''-3y'-2y obtemos
2yp1''-3yp1'-2yp1 =5A,e^2x
Deve ser igual a 5e^2x, logo 5A=5 e
A=1

Passo 5

Para yp2=Bcos x+Csin x:
yp2'=-Bsin x + Ccos x, yp2''=-Bcos x - Csin x
Então
2yp2''-3yp2'-2yp2 =l(-4B-3Cr)cos x + l(3B-4Cr)sin x,
que deve igualar 5sin x. Igualando coeficientes:
-4B-3C=0, 3B-4C=5
Da primeira B=-tfrac34C. Substituindo na segunda:
3l(-tfrac34Cr)-4C=5 ;Longrightarrow; -tfrac94C-4C=5 ;Longrightarrow; -tfrac254C=5 ;Longrightarrow; C=-tfrac45,
B=-tfrac34l(-tfrac45r)=tfrac35

Passo 6

A solução particular é
yp(x)=x e^2x + 35cos x - 45sin x
Logo a solução geral é
y(x)=yc(x)+yp(x) =C1e^2x+C2e^-x/2 + x e^2x + 35cos x - 45sin x

Resposta

y(x)=C1e^2x+C2e^-x/2+x e^2x+35cos x-45sin x

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