Exercício 6. (D.K. ex. 11.8) Calcule de<aa * de<ab, em que a e b in R^n.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução dos deltas de Dirac de<aa e de<ab em R^n. O conteúdo aqui é convolução de distribuições, mais especificamente de distribuições de Dirac que satisfazem lang<= de<aa,varphirang<==varphi(a).

Passo 2

Recordando a definição de convolução de distribuições, para T,SinD'(R^n) e varphiinD(R^n) temos
lang<= T * S,varphirang<= =lang<= Totimes S,psirang<= onde psi(x,y)=varphi(x+y)

Passo 3

Aplicando isso a T=de<aa e S=de<ab, obtemos
lang<= de<aa * de<ab,varphirang<= =lang<= de<aaotimesde<ab,psirang<= =psi(a,b) =varphi(a+b)

Passo 4

Como a distribuição que envia varphi em varphi(a+b) é exatamente de<aa+b, concluímos que
de<aa * de<ab = de<aa+b

Resposta

de<aa * de<ab = de<aa+b.

Exercícios relacionados