Sejam .
a) Mostre que é um produto interno sobre o .
b) Calcule, usando o produto interno do item a): e .
c) Para que valores de m, f(x)=m x^2+1 é ortogonal a g(x)=x.
d) Ortonormalize a base canônica do wp2.
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço wp2 de polinômios de grau <=2 e define
lang<= f,grang<= = integral0^1f(x),g(x),dx
Precisamos:
– (a) mostrar que isso satisfaz as três propriedades de produto interno (linearidade, simetria, positividade definida);
– (b) calcular lang<= x,tfrac1-x^22rang<= e |1-x^2|;
– (c) achar m tal que m x^2+1 seja ortogonal a x;
– (d) ortonormalizar a base canônica 1,x,x^2 via Gram–Schmidt.
Passo 2
Verificação de linearidade e simetria: para quaisquer f,g,hinwp2 e escalares a,b temos
(a) Verificadas linearidade, simetria e positividade definida.
(b) llang<= x,tfrac1-x^22rrang<==tfrac18, |1-x^2|=raiztfrac815.
(c) m=-2.
(d) Uma base ortonormal é