Sejam f, g in wp2.
a) Mostre que lang<= f(x), g(x)rang<==integral0^1 f(x) g(x) d x é um produto interno sobre o wp2.
b) Calcule, usando o produto interno do item a): lang<= x, 1-x^22rang<= e |1-x^2|.
c) Para que valores de m, f(x)=m x^2+1 é ortogonal a g(x)=x.
d) Ortonormalize a base canônica do wp2.

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço wp2 de polinômios de grau <=2 e define
lang<= f,grang<= = integral0^1f(x),g(x),dx
Precisamos:
– (a) mostrar que isso satisfaz as três propriedades de produto interno (linearidade, simetria, positividade definida);
– (b) calcular lang<= x,tfrac1-x^22rang<= e |1-x^2|;
– (c) achar m tal que m x^2+1 seja ortogonal a x;
– (d) ortonormalizar a base canônica 1,x,x^2 via Gram–Schmidt.

Passo 2

Verificação de linearidade e simetria: para quaisquer f,g,hinwp2 e escalares a,b temos
lang<= a,f+b,g,hrang<= =integral0^1(a,f(x)+b,g(x)),h(x),dx =a!integral0^1f,h + b!integral0^1g,h =a,lang<= f,hrang<= + b,lang<= g,hrang<=,
e claramente
lang<= f,grang<= =integral0^1f,g =integral0^1g,f =lang<= g,frang<=

Passo 3

Positividade definida:
lang<= f,frang<= =integral0^1f(x)^2,dx;>=0,
com igualdade só se f(x)^2=0 ,forall xin[0,1], ou seja, fequiv0. Logo todas as propriedades de produto interno estão confirmadas.

Passo 4

Cálculos do item (b):
lang<= x,1-x^22rang<= =12integral0^1(x - x^3),dx =12l[tfracx^22-tfracx^44r]0^1 =12l(tfrac12-tfrac14r) =18
|1-x^2|^2 =integral0^1(1 - 2x^2+x^4),dx =1 - tfrac23 + tfrac15 =815,
portanto |1-x^2|=raiztfrac815.

Passo 5

Item (c): exigimos
lang<= m x^2+1,;xrang<= =integral0^1(m x^3+x),dx =m!integral0^1x^3+ !integral0^1x =m4+12=0 ;Longrightarrow; m=-2

Passo 6

Ortonormalização da base 1,x,x^2 pelo método de Gram–Schmidt:
Definimos v1=1. Então
u1=v1=1, |u1|=raizintegral0^11,dx=1, e1=u1/|u1|=1
Definimos v2=x. Subtraímos a projeção em e1:
u2=x-lang<= x,1rang<=,1 =x-12, |u2|^2=integral0^1(x-tfrac12)^2dx=112, e2=u2|u2|=2raiz3,l(x-tfrac12r)

Passo 7

Para v3=x^2 eliminamos componentes em e1 e e2:
u3 =x^2-lang<= x^2,1rang<=,1 -lang<= x^2,e2rang<=,e2 =x^2-tfrac13 -l[integral0^1x^2(x-tfrac12),dxr]l(2raiz3(x-tfrac12)r)
Calcula-se integral0^1x^2(x-tfrac12)dx=1/12 e |u2|^2=1/12 de modo que o coeficiente é 1, logo
u3=x^2-x+tfrac16, |u3|^2=1180, e3=u3|u3|=6raiz5,l(x^2-x+tfrac16r)

Resposta

(a) Verificadas linearidade, simetria e positividade definida.
(b) llang<= x,tfrac1-x^22rrang<==tfrac18, |1-x^2|=raiztfrac815.
(c) m=-2.
(d) Uma base ortonormal é
e1(x)=1, e2(x)=2raiz3,l(x-tfrac12r), e3(x)=6raiz5,l(x^2-x+tfrac16r)

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