Use o Teorema do Núcleo e da Imagem para justificar porque não existe uma transformação linear:
T: R^3 R^2 tal que dim(ker(T))=dim(Im(T)).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe transformação linear
Tcolon R^3toR^2
tal que
dim(ker(T))=dim(Im(T)).
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity), que relaciona as dimensões do núcleo e da imagem de T com a dimensão do espaço de origem.

Passo 2

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, para qualquer transformação linear
;Tcolon R^3toR^2, vale
dim(ker(T))+dim(Im(T))=dim(R^3)=3

Passo 3

Como Im(T) é subespaço de R^2, temos
dim(Im(T))<=dim(R^2)=2
Suponha, por absurdo, que
dim(ker(T))=dim(Im(T))=d.
Então da soma de dimensões temos
d + d = 3 Longrightarrow 2d=3,
o que é impossível pois d deve ser número inteiro.

Passo 4

Como chegamos a uma contradição ao supor que dim(ker(T))=dim(Im(T)), concluímos que não existe nenhuma transformação linear
Tcolon R^3toR^2
com dim(ker(T))=dim(Im(T)).

Resposta

Não existe tal transformação linear.

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