Use o Teorema do Núcleo e da Imagem para justificar porque não existe uma transformação linear:
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe transformação linear
tal que
.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity), que relaciona as dimensões do núcleo e da imagem de com a dimensão do espaço de origem.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity), que relaciona as dimensões do núcleo e da imagem de
Passo 2
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, para qualquer transformação linear
, vale
Passo 3
Como
é subespaço de
, temos
Suponha, por absurdo, que
.
Então da soma de dimensões temos
Então da soma de dimensões temos
o que é impossível pois
deve ser número inteiro.
Passo 4
Como chegamos a uma contradição ao supor que
, concluímos que não existe nenhuma transformação linear
com .
com
Resposta
Não existe tal transformação linear.