Para que valores de lambda a função lang<= u, vrang<==x1 x2-3 x1 y2-3 x2 y1+lambda y1 y2, com u=(x1, y1) e v=(x2, y2) define um produto interno sobre o R^2.

Passo 1

O enunciado nos dá uma forma bilinear
lang<= u,vrang<= = x1x2 - 3x1y2 - 3x2y1 + lambda,y1y2
em R^2, com u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Queremos que isso seja um produto interno, ou seja, uma forma simétrica e positiva-definida.

Passo 2

Identificamos a matriz associada a essa forma bilinear no base canônica e1,e2. Os coeficientes são
M = 1 & -3 [6pt] -3 & lambda ,
pois o termo x1x2 M11=1, os termos cruzados -3x1y2-3x2y1 dão M12=M21=-3 e o termo lambda y1y2 M22=lambda.]

Passo 3

Como lang<= u,vrang<= já é visivelmente simétrica, resta exigir que M seja positiva-definida. Pelo critério de Sylvester em dimensão 2, isso ocorre se e somente se:
1. o primeiro menor principal M11=1 for positivo;
2. o determinante de M for positivo.

Passo 4

Verificamos cada condição:
1. M11=1>0, já está OK.
2.
det(M) = 1cdotlambda - (-3)^2 = lambda - 9
Exigimos det(M)>0, ou seja
lambda - 9 > 0 Longrightarrow lambda > 9

Resposta

A forma define um produto interno exatamente para
boxedlambda > 9

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