Para que valores de
a função
, com
e
define um produto interno sobre o
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma forma bilinear
em
, com
e
. Queremos que isso seja um produto interno, ou seja, uma forma simétrica e positiva-definida.
Passo 2
Identificamos a matriz associada a essa forma bilinear no base canônica
. Os coeficientes são
pois o termo
dá
, os termos cruzados
dão
e o termo
dá
.]
Passo 3
Como
já é visivelmente simétrica, resta exigir que
seja positiva-definida. Pelo critério de Sylvester em dimensão
, isso ocorre se e somente se:
. o primeiro menor principal
for positivo;
. o determinante de
for positivo.
Passo 4
Verificamos cada condição:
.
, já está OK.
.
Exigimos
, ou seja
Resposta
A forma define um produto interno exatamente para