Exercício 5. (D.K. ex. 11.7) Seja
um polinômio em
de grau
e
. Mostre que
é uma função polinomial de graus
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um polinômio em
de grau
e que
(distribuição de suporte compacto). Queremos mostrar que a função
é ela própria um polinômio de grau
. O conteúdo usado será a propriedade de derivação sob o sinal de convolução distribuição–função.
Passo 2
Primeiro notamos que, por
ter suporte compacto, a aplicação
para cada
, logo o acoplamento
define uma função suave em
.
Em particular podemos derivar sob o colchete:
Em particular podemos derivar sob o colchete:
Passo 3
Mas
de modo que
Por indução, para qualquer multi-índice
,
Passo 4
Como
é um polinômio de grau
, temos
sempre que
. Consequentemente,
Isso significa exatamente que
é um polinômio (função cujas derivadas de ordem maior que
se anulam) de grau
.