Exercício 5. (D.K. ex. 11.7) Seja f um polinômio em R de grau <= m e T in E^prime(R^n). Mostre que f * T é uma função polinomial de graus <= m.

Passo 1

O enunciado diz que f é um polinômio em R^n de grau <= m e que TinE'(R^n) (distribuição de suporte compacto). Queremos mostrar que a função
x;longmapsto;(f*T)(x);=;llang<= T,;ymapsto f(x-y)rrang<=
é ela própria um polinômio de grau <= m. O conteúdo usado será a propriedade de derivação sob o sinal de convolução distribuição–função.

Passo 2

Primeiro notamos que, por T ter suporte compacto, a aplicação
x;mapsto;f(x-cdot)é um teste em E(R^n) é
para cada x, logo o acoplamento lang<= T,f(x-cdot)rang<= define uma função suave em x.
Em particular podemos derivar sob o colchete:
partialpartial xi(f*T)(x) =partialpartial xillang<= T,f(x-cdot)rrang<= =llang<= T,partialpartial xil[f(x-cdot)r]rrang<=

Passo 3

Mas
partialpartial xil[f(x-y)r] =partial fpartial xi(x-y),
de modo que
partialpartial xi(f*T) =llang<= T,,ymapsto partial fpartial xi(x-y)rrang<= =(partiali f)*T
Por indução, para qualquer multi-índice alpha,
partial^alpha (f*T) =(D^alpha f)*T

Passo 4

Como f é um polinômio de grau <= m, temos D^alpha f=0 sempre que |alpha|>m. Consequentemente,
partial^alpha (f*T)=0 para todo (|alpha|>m)
Isso significa exatamente que f*T é um polinômio (função cujas derivadas de ordem maior que m se anulam) de grau <= m.

Resposta

f*T é uma função polinomial de grau <= m.

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