Exercício 4. (Hounie. Capítulo IV ex. 7) Sejam u in D^prime(R^n) e phi in Cc^infty(R^n). Sabemos que u * phi in C^infty(R^n) e, portanto, pode ser interpretado como uma distribuição. Prove que esta distribuição coincide com o produto de convolução u * Tphi, em que Tphi é a distribuição associada a phi. Em outras palavras, mostre que
Tu * phi=u * Tphi

Passo 1

O enunciado diz que temos uma distribuição uin D'( R^n) e uma função de teste phiin Cc^infty( R^n). Da teoria sabemos que a convolução u*phi é uma função suave em R^n e, portanto, define a distribuição Tu*phi via
Tu*phi(psi)=integral R^n(u*phi)(x),psi(x),dx,
para toda psiin Cc^infty( R^n)$. Por outro lado, phi também define a distribuição de suporte compacto Tphi, e podemos formar a convolução de distribuições u*Tphi. O objetivo é mostrar que
Tu*phi;=;u* Tphi
como distribuições, isto é, que agem da mesma forma em todo psi.

Passo 2

Vamos calcular Tu*phi(psi) de modo a expor um único papel para u. Defina para cada x a função de teste
thetax(t)=phi(x-t)
Então, pela definição de convolução de distribuição por função,
(u*phi)(x)=ul(thetaxr),
e assim
Tu*phi(psi) =integral R^n(u*phi)(x),psi(x),dx =integral R^nul(thetaxr),psi(x),dx
Como phi tem suporte compacto e psi também, o domínio de x na integral é compacto, e podemos usar a continuidade de u para trocar integral e ação de u. Logo
Tu*phi(psi) = ul(tmapsto integral R^nphi(x-t),psi(x),dxr)

Passo 3

Agora calculamos (u* Tphi)(psi) pela definição de convolução de distribuições quando uma delas tem suporte compacto. Por definição
(u* Tphi)(psi) = ul(xmapsto Tphil(ymapsto psi(x+y)r)r)
Mas Tphi age numa função de y por
Tphil(ymapsto psi(x+y)r) =integral R^nphi(y),psi(x+y),dy
Substituindo, obtemos
(u* Tphi)(psi) = ul(xmapsto integral R^nphi(y),psi(x+y),dyr)

Passo 4

Basta agora observar que as duas funções de t que aparecem no interior de u(cdot) em Passo 2 e Passo 3 coincidem. No Passo 2 tínhamos
t;longmapsto;integral R^nphi(x-t),psi(x),dx,
e no Passo 3
x;longmapsto;integral R^nphi(y),psi(x+y),dy
Fazendo a mudança de variável y=x-t em uma das integrais vemos imediatamente que ambas as expressões são a mesma função de ,t. Portanto, para todo psi,
Tu*phi(psi) = (u* Tphi)(psi)

Resposta

Concluímos que
Tu*phi=u* Tphi,
isto é, a distribuição associada à função suave u*phi coincide com a convolução de distribuições u* Tphi.

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