Exercício 4. (Hounie. Capítulo IV ex. 7) Sejam
e
. Sabemos que
e, portanto, pode ser interpretado como uma distribuição. Prove que esta distribuição coincide com o produto de convolução
, em que
é a distribuição associada a
. Em outras palavras, mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos uma distribuição
e uma função de teste
. Da teoria sabemos que a convolução
é uma função suave em
e, portanto, define a distribuição
via
para toda
. Por outro lado,
também define a distribuição de suporte compacto
, e podemos formar a convolução de distribuições
. O objetivo é mostrar que
como distribuições, isto é, que agem da mesma forma em todo
.
Passo 2
Vamos calcular
de modo a expor um único papel para
. Defina para cada
a função de teste
Então, pela definição de convolução de distribuição por função,
e assim
Como
tem suporte compacto e
também, o domínio de
na integral é compacto, e podemos usar a continuidade de
para trocar integral e ação de
. Logo
Passo 3
Agora calculamos
pela definição de convolução de distribuições quando uma delas tem suporte compacto. Por definição
Mas
age numa função de
por
Substituindo, obtemos
Passo 4
Basta agora observar que as duas funções de
que aparecem no interior de
em Passo 2 e Passo 3 coincidem. No Passo 2 tínhamos
e no Passo 3
Fazendo a mudança de variável
em uma das integrais vemos imediatamente que ambas as expressões são a mesma função de
. Portanto, para todo
,
Resposta
Concluímos que
isto é, a distribuição associada à função suave
coincide com a convolução de distribuições
.