Exercício 4. (Folland cap.9.4 ex.4) Suponha que é uma distribuição temperada e . Vamos definir por . Pode-se mostrar que (não é o objetivo do exercício. Apenas assuma este fato)
é uma função
.
Nosso objetivo é mostrar que existe tal que para todo , temos , em que é uma constante que depende de . Para tanto, siga os seguintes passos:
a) Mostre que para todo , existe tal que .
b) Usando o item ), mostre que .
c) Conclua, usando a continuidade de u e o resultado do item b, que |(u * phi)(x)| <= C(1+|x|)^N.
d) Repita o argumento acima com partial^alpha phi no lugar de phi para concluir que |partial^alpha(u * phi)(x)| <= Calpha(1+|x|)^N.
Passo 1
O enunciado considera uinS'(R^n) (distribuição temperada) e phiinS(R^n) (função de Schwartz). Definimos
(u*phi)(x);=;ul(ymapstophi(x-y)r),
sabendo que u*phiin C^infty e
partial^alpha(u*phi);=;u*l(partial^alphaphir)
Queremos provar que existe NinN0 tal que, para todo multi-índice alpha,
l|partial^alpha(u*phi)(x)r|;<=;Calpha,(1+|x|)^N
Usaremos (i) a desigualdade de crescimento de potências em termos de |x| e |x-y|, (ii) a seminorma de phi em S, e (iii) a continuidade de u em S.
Passo 2
Provar que para todo x,yinR^n e todo KinN0 vale
|y|^K;<=;(1+|x-y|)^K,(1+|x|)^K
Justificativa: para a,b>=0 temos a+b<=(1+a)(1+b). Tomando a=|x-y| e b=|x| obtém-se
|y|=|x-(x-y)|<=|x|+|x-y|<=(1+|x-y|)(1+|x|),
e elevando à potência K segue o resultado.
Passo 3
Para multi-índices alpha,beta fixos, analisamos supyinR^nl|y^beta,partial^alphaphi(x-y)r|.
Façamos a troca de variável z=x-y, então y=x-z e da Passo 2 com K=|beta| obtemos
Para derivadas usamos partial^alpha(u*phi)=u*(partial^alphaphi) e repetimos os Passos 3 e 4 com partial^alphaphi no lugar de phi. Conclui-se então que existe constante Calpha (depende de alpha) e o mesmo N tal que
l|partial^alpha(u*phi)(x)r|;<=;Calpha,(1+|x|)^N
Resposta
Existe NinN0 tal que, para todo multi-índice alpha,