Exercício 4. (Folland cap.9.4 ex.4) Suponha que u in S^prime(R^n) é uma distribuição temperada e phi in S(R^n). Vamos definir u * phi: R^n C por u * phi(x)=u(y mapsto phi(x-y)). Pode-se mostrar que (não é o objetivo do exercício. Apenas assuma este fato)
  1. u * phi é uma função C^infty
  2. partial^alpha(u * phi)=(partial^alpha u) * phi=u *(partial^alpha phi).
Nosso objetivo é mostrar que existe N in N0 tal que para todo alpha in N0^n, temos |partial^alpha(u * phi)(x)| <= Calpha(1+|x|)^N, em que Calpha>0 é uma constante que depende de alpha. Para tanto, siga os seguintes passos:
a) Mostre que para todo x, y in N0, existe K >= 0 tal que |y|^K <=(1+|x-y|)^K(1+|x|)^K.
b) Usando o item a ), mostre que sup y in R^n|y^beta partial^alpha phi(x-y)| <= CK(1+|x|)^|beta|.
c) Conclua, usando a continuidade de u e o resultado do item b, que |(u * phi)(x)| <= C(1+|x|)^N.
d) Repita o argumento acima com partial^alpha phi no lugar de phi para concluir que |partial^alpha(u * phi)(x)| <= Calpha(1+|x|)^N.

Passo 1

O enunciado considera uinS'(R^n) (distribuição temperada) e phiinS(R^n) (função de Schwartz). Definimos
(u*phi)(x);=;ul(ymapstophi(x-y)r),
sabendo que u*phiin C^infty e
partial^alpha(u*phi);=;u*l(partial^alphaphir)
Queremos provar que existe NinN0 tal que, para todo multi-índice alpha,
l|partial^alpha(u*phi)(x)r|;<=;Calpha,(1+|x|)^N
Usaremos (i) a desigualdade de crescimento de potências em termos de |x| e |x-y|, (ii) a seminorma de phi em S, e (iii) a continuidade de u em S.

Passo 2

Provar que para todo x,yinR^n e todo KinN0 vale
|y|^K;<=;(1+|x-y|)^K,(1+|x|)^K
Justificativa: para a,b>=0 temos a+b<=(1+a)(1+b). Tomando a=|x-y| e b=|x| obtém-se
|y|=|x-(x-y)|<=|x|+|x-y|<=(1+|x-y|)(1+|x|),
e elevando à potência K segue o resultado.

Passo 3

Para multi-índices alpha,beta fixos, analisamos
supyinR^nl|y^beta,partial^alphaphi(x-y)r|.
Façamos a troca de variável z=x-y, então y=x-z e da Passo 2 com K=|beta| obtemos
|y|^|beta|;<=;(1+|z|)^|beta|,(1+|x|)^|beta|
Logo,
l|y^beta,partial^alphaphi(x-y)r| ;<=;(1+|x|)^|beta|,(1+|z|)^|beta|,l|partial^alphaphi(z)r| ;<=;Calpha,beta,(1+|x|)^|beta|,
onde
Calpha,beta =supzinR^nl[(1+|z|)^|beta|,l|partial^alphaphi(z)r|r] ;<;infty
porque phi é função de Schwartz. Assim
supyl|y^beta,partial^alphaphi(x-y)r|;<=;Calpha,beta,(1+|x|)^|beta|

Passo 4

Pela continuidade de uinS'(R^n) existe NinN0, constantes C>0 e multi-índices beta com |beta|<= N tais que, para toda psiinS(R^n),
l|u(psi)r| ;<=; C;sum|beta|<= N;supyinR^nl|y^beta,psi(y)r|
Tomando psi(y)=phi(x-y) obtemos
|(u*phi)(x)| =|u(phi(x-cdot))| <= Csum|beta|<= N supyl|y^beta,phi(x-y)r| <= Csum|beta|<= NC0,beta,(1+|x|)^|beta| ;<=; C',(1+|x|)^N

Passo 5

Para derivadas usamos
partial^alpha(u*phi)=u*(partial^alphaphi) e repetimos os Passos 3 e 4 com partial^alphaphi no lugar de phi. Conclui-se então que existe constante Calpha (depende de alpha) e o mesmo N tal que
l|partial^alpha(u*phi)(x)r|;<=;Calpha,(1+|x|)^N

Resposta

Existe NinN0 tal que, para todo multi-índice alpha,
l|partial^alpha(u*phi)(x)r|;<=;Calpha,(1+|x|)^N

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