Determine o núcleo e a imagem do operador linear derivada D: Pn(x) Pn(x), definido por D(f)=f^prime(x).

Passo 1

O enunciado pede o núcleo e a imagem do operador linear
D colon Pn(x) to Pn(x), D(f)=f'(x)
O conteúdo é Álgebra Linear: queremos caracterizar as soluções de D(f)=0 (núcleo) e todos os vetores alcançados por D (imagem).

Passo 2

Escrevemos um polinômio genérico de grau até n:
f(x)=a0+a1x+a2x^2+cdots+anx^n
Ao derivar, obtemos
f'(x)=a1+2a2x+cdots+n,anx^n-1,
que é um polinômio de grau até n-1.

Passo 3

Para achar o núcleo, impomos f'(x)=0. Isso força
a1=a2=cdots=an=0,
logo só resta o termo constante a0. Portanto
ker(D)=,finPn(x)mid f'(x)=0=,a0mid a0inR,
que é o espaço dos polinômios constantes.

Passo 4

Para a imagem, tomamos um polinômio qualquer de grau até n-1, digamos
g(x)=b0+b1x+cdots+bn-1x^n-1
Como toda derivada tem primitiva em Pn(x), existe
f(x)=C+integral g(x) de grau até n tal que f'(x)=g(x). Logo
Im(D)=,ginPn(x)mid deg g<= n-1=Pn-1(x)

Resposta

ker(D)=,polinômios constantesô
Im(D)=Pn-1(x)

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