Determine o núcleo e a imagem do operador linear derivada
, definido por
.
Passo 1
O enunciado pede o núcleo e a imagem do operador linear
O conteúdo é Álgebra Linear: queremos caracterizar as soluções de
(núcleo) e todos os vetores alcançados por
(imagem).
Passo 2
Escrevemos um polinômio genérico de grau até
:
Ao derivar, obtemos
que é um polinômio de grau até
.
Passo 3
Para achar o núcleo, impomos
. Isso força
logo só resta o termo constante
. Portanto
que é o espaço dos polinômios constantes.
Passo 4
Para a imagem, tomamos um polinômio qualquer de grau até
, digamos
Como toda derivada tem primitiva em
, existe
de grau até
tal que
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