Exercício 6. (D.K. ex. 8.1) Seja Omega subset R^n um aberto e u in D^prime(Omega). Suponha que o suporte singular de u seja compacto. Prove que u tem ordem finita.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma distribuição cujo suporte singular, isto é, o fecho do conjunto onde não é suave, é compacto em . Queremos mostrar que existe um inteiro tal que, para todo compacto ,
ou seja, tem ordem finita. Vamos usar teoria básica de distribuições: singular support, função de corte, distribuições de suporte compacto têm ordem finita, e distribuições dadas por funções suaves têm ordem 0.

Passo 2

Por definição de suporte singular, existe um compacto tal que é uma função suave em . Em outras palavras, existe com
Daqui segue que qualquer distribuição que coincida com um numa região é de ordem 0 nessa região.

Passo 3

Escolhemos uma função de corte chiin Cc^infty(Omega) tal que
chi(x)=1numa vizinhança de K ç
Então 1-chi é suave, vale 1 longe de K e tem suporte em Omegasetminus K.

Passo 4

Decompomos
u = chi,u + (1-chi),u
Para testar em varphiin Cc^infty(Omega) usamos
(chi,u)(varphi)=u(chi,varphi), l((1-chi),ur)(varphi)=ul((1-chi),varphir)

Passo 5

  1. Como é compacto, vale o teorema padrão de que toda distribuição de suporte compacto tem ordem finita: existe e tais que
  1. Por outro lado, fica longe de , onde coincide com uma função suave . Logo
é uma forma contínua de ordem 0, pois basta estimar por .

Passo 6

Somando as duas estimativas, vemos que existe um inteiro tal que para todo compacto e todo
Isto mostra que tem ordem finita.

Resposta

A distribuição u tem ordem finita.

Exercícios relacionados