Exercício 6. (D.K. ex. 8.1) Seja
um aberto e
. Suponha que o suporte singular de
seja compacto. Prove que
tem ordem finita.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma distribuição
cujo suporte singular, isto é, o fecho do conjunto onde
não é suave, é compacto em
. Queremos mostrar que existe um inteiro
tal que, para todo compacto
,
ou seja,
tem ordem finita. Vamos usar teoria básica de distribuições: singular support, função de corte, distribuições de suporte compacto têm ordem finita, e distribuições dadas por funções suaves têm ordem 0.
Passo 2
Por definição de suporte singular, existe um compacto
tal que
é uma função suave em
. Em outras palavras, existe
com
Daqui segue que qualquer distribuição que coincida com um
numa região é de ordem 0 nessa região.
Passo 3
Escolhemos uma função de corte
tal que
Então
é suave, vale
longe de
e tem suporte em
.
Passo 4
Decompomos
Para testar em
usamos
Passo 5
- Como é compacto, vale o teorema padrão de que toda distribuição de suporte compacto tem ordem finita: existe
e tais que
- Por outro lado, fica longe de
, onde coincide com uma função suave . Logo
é uma forma contínua de ordem 0, pois basta estimar por
.
Passo 6
Somando as duas estimativas, vemos que existe um inteiro
tal que para todo compacto
e todo
Isto mostra que
tem ordem finita.
Resposta
A distribuição
tem ordem finita.