Exercício 7. (D.K. ex. 8.2) Seja
um aberto e
uma sequência que converge a
em
. Mostre que:
a) Se existe um compacto
contido em
tal que
para todo
, então supp
.
b) Se existe um compacto
contido em
tal que supp
para todo
, o seguinte
vale em
, isto é, para todo
temos que
.
c) Seja
uma sequência em
com a propriedade de que
ou
. Prove que
, mas não em
.
a) Se existe um compacto
b) Se existe um compacto
c) Seja
Passo 1
O enunciado trabalha com distribuições em
. Temos uma sequência
que converge a
em
. Precisamos usar a definição de suporte de uma distribuição e de convergência em
(testando em funções de
) e em
(testando em funções de
). No item (a) mostramos que o suporte limite fica contido num compacto comum, em (b) que essa convergência em
junto ao suporte compacto implica convergência em
, e em (c) construímos um contra-exemplo usando as deltas de Dirac.
Passo 2
Prova de (a): lembrando que a definição de suporte de uma distribuição
é o menor fecho de
, onde
é qualquer aberto em que
para todo
. Como para todo
, se
satisfaz então
e pelo limite em
obtemos
Logo
anula todas as
com suporte em
, o que implica .
Passo 3
Prova de (b): agora queremos mostrar que para todo
vale
. Como e
, existe
tal que
em um entorno de
. Então
e, para todo
,
porque fora de
tanto
quanto
“não veem” regiões além de
. Como
é função-teste em
e
em
, segue
já que
em . Isso é exatamente
em
.
Passo 4
Prova de (c): defina
pelas ações
. Seja
. Então é compacto estritamente dentro de
, logo existe uma distância mínima positiva de até
. Como
(ou
), para
grande o ponto
já não está em , então
. Assim
e logo
em
. Por outro lado, em
podemos escolher
, obtendo
para todo
, e daí não há convergência a zero em
.
Resposta
a) .
b) em
.
c) em
, mas não em
.
b)
c)