Exercício 7. (D.K. ex. 8.2) Seja Omega subset R^n um aberto e (uj)j in N subset D^prime(Omega) uma sequência que converge a u in D^prime(Omega) em D^prime(Omega). Mostre que:
a) Se existe um compacto K contido em Omega tal que supp(uj) subset K para todo j in N, então supp (u) subset K.
b) Se existe um compacto K contido em Omega tal que supp (uj) subset K para todo j in N, o seguinte limitej infty uj=u vale em E^prime(Omega), isto é, para todo phi in C^infty(Omega) temos que lim j infty uj(phi)=u(phi).
c) Seja (aj)j in N uma sequência em Omega com a propriedade de que lim j infty d(aj, R^n backslash Omega)=0 ou lim j infty|aj|=0. Prove que lim j infty de<aaj=0 em D^prime(Omega), mas não em E^prime(Omega).

Passo 1

O enunciado trabalha com distribuições em OmegasubsetR^n. Temos uma sequência l(ujr) que converge a u em D'(Omega). Precisamos usar a definição de suporte de uma distribuição e de convergência em D'(Omega) (testando em funções de D(Omega)) e em E'(Omega) (testando em funções de C^infty(Omega)). No item (a) mostramos que o suporte limite fica contido num compacto comum, em (b) que essa convergência em D' junto ao suporte compacto implica convergência em E', e em (c) construímos um contra-exemplo usando as deltas de Dirac.

Passo 2

Prova de (a): lembrando que a definição de suporte de uma distribuição é o menor fecho de , onde é qualquer aberto em que para todo . Como para todo , se satisfaz então
e pelo limite em obtemos
Logo anula todas as com suporte em , o que implica .

Passo 3

Prova de (b): agora queremos mostrar que para todo vale . Como e , existe tal que em um entorno de . Então e, para todo ,
porque fora de tanto quanto “não veem” regiões além de . Como é função-teste em e em , segue
já que em . Isso é exatamente em .

Passo 4

Prova de (c): defina pelas ações . Seja . Então é compacto estritamente dentro de , logo existe uma distância mínima positiva de até . Como (ou ), para grande o ponto já não está em , então . Assim
e logo em . Por outro lado, em podemos escolher , obtendo para todo , e daí não há convergência a zero em .

Resposta

a) .
b) em .
c) em , mas não em .

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