Q 123 Mostre que:
Se f(x)=a^b x, então f^(n)(x)=[b ln (a)]^n cdot a^b x, forall n in N;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para a função
f(x)=a^b x,
a sua n-ésima derivada satisfaz
f^(n)(x) = [b ln(a)]^n,a^b x,
para todo ninN.
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada à função exponencial de base a e, em seguida, prova por indução sobre n.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1. Usando que
ddxl(a^u(x)r) = a^u(x)ln(a),u'(x),
com u(x)=b x e u'(x)=b, obtemos
f'(x) = a^b x,ln(a),cdot b = [bln(a)],a^b x
Isto coincide com a fórmula desejada para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum kinN já valha
f^(k)(x) = [bln(a)]^k,a^b x

Passo 4

Passo indutivo: derivamos f^(k)(x) para obter f^(k+1)(x):
f^(k+1)(x) =ddxl([bln(a)]^k,a^b xr) =[bln(a)]^k,ddxl(a^b xr) =[bln(a)]^k,l(bln(a)r),a^b x =[bln(a)]^k+1,a^b x
Assim, a fórmula vale também para n=k+1.

Passo 5

Concluímos por indução que, para todo ninN,
f^(n)(x) = [bln(a)]^n,a^b x

Resposta

f^(n)(x) = [b ln(a)]^n,a^b x, forall ninN

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