Q 123 Mostre que:
Se
, então
;
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para a função
a sua n-ésima derivada satisfaz
para todo
.
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada à função exponencial de base e, em seguida, prova por indução sobre
.
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada à função exponencial de base
Passo 2
Verificamos o caso base
. Usando que
com
e
, obtemos
Isto coincide com a fórmula desejada para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
já valha
Passo 4
Passo indutivo: derivamos
para obter
:
Assim, a fórmula vale também para
.
Passo 5
Concluímos por indução que, para todo
,