Exercício 7 (D.L.1.11)
Encontre a solução x(t)=(x1(t), x2(t)) da equação diferencial linear em R^2 com as condições iniciais dadas:
x1^prime=2 x1+x2, x2^prime=x1+x2 ; x1(1)=1, x2(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução do sistema linear em
com condição inicial .
Conteúdo: diagonalização de matriz, cálculo de autovalores e autovetores, combinação linear e aplicação da condição inicial.

Passo 2

Calculamos os autovalores lambda de
A=2 & 11 & 1
resolvendo
det(A-lambda I) =det2-lambda &11&1-lambda =(2-lambda)(1-lambda)-1 =lambda^2-3lambda+1=0
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lambda1,2 =3pmraiz52,

Passo 3

Para lambda1=(3+raiz5)/2, a equação (A-lambda1I)v=0
(2-lambda1)x1+x2=0 Longrightarrow x2=raiz5-12,x1
Tomamos v1=(1,(raiz5-1)/2).
Para lambda2=(3-raiz5)/2, obtemos
v2=l(1,-1+raiz52r)

Passo 4

A solução geral do sistema é
x(t)=C1,e^lambda1(t-1),v1 + C2,e^lambda2(t-1),v2

Passo 5

Impondo x(1)=(1,1), temos
C1v1+C2v2=(1,1),
isto é
C1+C2=1, C1,dfracraiz5-12 + C2,l(-dfrac1+raiz52r)=1
Resolvendo, achamos
C1=5+3raiz510, C2=5-3raiz510

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula geral, obtemos
x1(t) =5+3raiz510,e^3+raiz52(t-1) +5-3raiz510,e^3-raiz52(t-1),
x2(t) =5+3raiz510,raiz5-12,e^3+raiz52(t-1) -5-3raiz510,1+raiz52,e^3-raiz52(t-1)

Resposta

x(t)=l(x1(t),,x2(t)r),
com x1(t) e x2(t) dados acima.

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