Q 121 Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
f(x)=raizx^2+1, n=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de primeira e segunda ordem de
f(x)=raizx^2+1=(x^2+1)^tfrac12
Para isso usaremos a regra da cadeia (para derivar potências) e, no segundo caso, também a regra do produto.

Passo 2

Vamos achar f'(x). Colocando u=x^2+1, temos f(x)=u^tfrac12. A regra da cadeia dá
f'(x)=12,u^-tfrac12cdot u'
com u'=2x. Logo
f'(x)=12,(x^2+1)^-tfrac12cdot2x =x,(x^2+1)^-tfrac12 =xraizx^2+1

Passo 3

Agora calculamos f''(x) derivando
f'(x)=x,(x^2+1)^-tfrac12.
Aplicando a regra do produto:
f''(x) =1cdot(x^2+1)^-tfrac12 + xcdotl(-tfrac12,(x^2+1)^-tfrac32cdot2xr)
Isso é
f''(x) =(x^2+1)^-tfrac12 - x^2,(x^2+1)^-tfrac32 =x^2+1 - x^2(x^2+1)^tfrac32 =1(x^2+1)^tfrac32

Resposta

f'(x)=xraizx^2+1,
f''(x)=1(x^2+1)^tfrac32

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